Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Для зльоту літаку потрібна швидкість 280 km/h, а довжина злітної смуги 1900 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?
Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1,5 m/s² протягом 4 s, потім їде зі сталою швидкістю 14 s і нарешті гальмує з прискоренням 5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.
Ящик масою 25 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 25° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.
Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 135 N тягне передній брусок масою 10 kg; брусок масою 8 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a брусків.
М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.
М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 31 m/s під кутом 60° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 9 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.
Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 95 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.
Поворот радіусом 200 m має нахил полотна 8°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.
Брусок масою 2 kg ковзає 10 m похилою площиною під кутом 40° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,4. Знайдіть роботу Wf проти сили тертя.
Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.
Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 4 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′1 першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).
На перехресті автомобіль масою 800 kg, що їде на схід зі швидкістю 8 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1800 kg, що їде на північ зі швидкістю 19 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.
Вал передає 135,5 kW за частоти 2400 rpm. Знайдіть крутний момент T у валу.
Людина стоїть на поворотному крузі без тертя й тримає в кожній руці гантель масою 5 kg на відстані 0,7 m від осі. Людина разом із кругом має момент інерції 1,5 kg·m² відносно осі. Вони обертаються з частотою 30 rpm, потім людина підтягує гантелі до відстані 0,3 m від осі. Вважайте гантелі точковими масами. Знайдіть нову частоту n2 в rpm.
Двигун потужністю 5,5 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 18, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 60. Втратами знехтуйте. Знайдіть крутний момент T1 на валу двигуна.
Відкритий пас з’єднує шків 160 мм і шків 250 мм, центри яких розташовані на відстані 1200 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.
Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 420 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 7 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 5 cm від положення рівноваги.
Вантаж масою 0,2 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 70 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax вантажу.
Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 40 mm через 2 циклів іде пік 5,9 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
Маса 40 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 30 kN/m і k₂ = 100 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.
Відповідь: a = 1,592 m/s²
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Відповідь: s = 99,6 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Відповідь: F = 125,9 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Стала швидкість: сили зрівноважені.
Відповідь: a = 6,519 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Відповідь: x = 153,3 m
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Старт і приземлення на одній висоті: t = 2vy/g.
Відповідь: x = 79,28 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Більший корінь: м’яч опускається.
Відповідь: vmax = 21,59 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: vmax = 28,18 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Тертя спрямоване вниз схилом.
Відповідь: Wf = 60,12 J
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Відповідь: x = 14,35 cm
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.
Відповідь: v′1 = 2,154 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.
Відповідь: θ = 79,4 °
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Відповідь: T = 539,1 N·m
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Відповідь: n2 = 80 rpm
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Кінетична енергія зростає: додаткова енергія береться з роботи, яку виконує людина, підтягуючи гантелі.
Відповідь: T1 = 18,11 N·m
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Відповідь: θ = 175,7 °
Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.
Відповідь: v = 0,9573 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: vmax = 0,5244 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Швидкість найбільша в положенні рівноваги.
Відповідь: ζ = 0,1506
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Відповідь: keq = 130 kN/m
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics