Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 90 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 90 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1 m/s² протягом 4 s, потім їде зі сталою швидкістю 7 s і нарешті гальмує з прискоренням 3 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 4 st₂ = 7 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 5 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 15° над горизонталлю із силою 40 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 5 kgF = 40 Nθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7 kg на похилій площині з кутом 35° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 7 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Тертя на похилій площині відсутнє. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 7 kgm₂ = 7 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 30° над горизонталлю, і він падає на відстані 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 30°R = 40 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 20 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 32 m/sθ = 15°h = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 50 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,8. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 50 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 2 kg на легкій нитці завдовжки 1,1 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 12 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 2 kgr = 1,1 mv_bottom = 12 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 4 kg ковзає 4 m похилою площиною під кутом 35° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,3. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0,3d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4,5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 4000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 1 kgh = 3,5 mL = 4,5 mμ = 0,15k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4,5 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 2 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 30° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 4 kgL = 2 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 35 kg·m² обертається з частотою 2100 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 180 N·m. Скільки обертів N зробить маховик до зупинки?

I = 35 kg·m²n = 2100 rpmT_b = 180 N·m

N = rev

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільний циліндр починає рух зі стану спокою й котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 35° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його швидкість v після того, як він прокотиться 3 m вздовж схилу.

θ = 35°s = 3 mI = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,1 kW із частотою обертання 1500 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 16, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 40. Втратами знехтуйте. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 1,1 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 16N₂ = 40η = 100%

T₂ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (50 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (60 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (30 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1440 rpmA = 50B = 60C = 18D = 30

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 3 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 3 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,8 kg на пружині з k = 320 N/m відтягують на 14 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 2,8 kgk = 320 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 40 mm через один цикл іде пік 31,1 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 40 mmx₁ = 31,1 mmn = 1

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 40 kN/m і k₂ = 15 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 39,06 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·8) = 39,06 m

Відповідь

s = 39,06 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 38,67 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1·4 = 4 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·1·4² = 8 m

s₂ = 4·7 = 28 m

s₃ = 4²/(2·3) = 2,667 m

Повна відстань

s = 8 + 28 + 2,667 = 38,67 m

Відповідь

s = 38,67 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 6,953 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 49,05 − 40·sin 15° = 38,7 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 38,64 − 3,87

a = 34,77/5 = 6,953 m/s²

Відповідь

a = 6,953 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 54,03 N

Сили вздовж нитки

m₂·g = 68,67 N

m₁·g·sin θ = 39,39 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Прискорення системи

a = (68,67 − 39,39 − 0)/14 = 2,092 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 7·(9,81 − 2,092) = 54,03 N

Відповідь

T = 54,03 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 21,29 m/s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·40/sin 60°) = 21,29 m/s

Відповідь

v₀ = 21,29 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 93,75 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 15° = 30,91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 15° = 8,282 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 20 + 8,282·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,282 + √(68,59 + 392,4))/9,81 = 3,033 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 30,91·3,033 = 93,75 m

Відповідь

x = 93,75 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 19,81 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·50) = 19,81 m/s

Відповідь

v_max = 19,81 m/s (71,31 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 163,7 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 12² − 4·9,81·1,1 = 100,8 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·100,8/1,1 − 2·9,81 = 163,7 N

Відповідь

T_top = 163,7 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 38,57 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 39,24·0,8192 = 32,14 N

F = μN = 0,3·32,14 = 9,643 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 9,643·4 = 38,57 J

Відповідь

W_f = 38,57 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 11,77 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(3,5 − 0,15·4,5) = 27,71 J

Найбільше стиснення

½kx² = 27,71 → x = √(2·27,71/4000) = 0,1177 m = 11,77 cm

Відповідь

x = 11,77 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 3,6 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4,5 − 3)/(4,5 + 3)·3 = 0,6 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 3)·3 = 3,6 m/s

Відповідь

v′₂ = 3,6 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 766,6 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 30°) = 0,2679 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,2679) = 2,293 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 4,012·2,293/0,012 = 766,6 m/s

Відповідь

v = 766,6 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: N = 748,3 rev

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·2100/60 = 219,9 rad/s

Робота гальма дорівнює кінетичній енергії

½·I·ω² = ½·35·219,9² = 846319 J

θ = 846319/180 = 4702 rad

Оберти

N = θ/2π = 748,3 rev

Відповідь

N = 748,3 rev

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: v = 4,744 m/s

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Висота спуску

h = s·sin θ = 3·sin 35° = 1,721 m

Енергетичний баланс для кочення

Кочення без проковзування: ω = v/r, а тертя в точці контакту роботи не виконує.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,5)

v = √(2·9,81·1,721/1,5) = 4,744 m/s

Відповідь

v = 4,744 m/s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 17,51 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 7,003·40/16·1 = 17,51 N·m

Відповідь

T₂ = 17,51 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 720 rpm

Перший ступінь

n_B = 1440·50/60 = 1200 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1200·18/30 = 720 rpm

Відповідь

n_out = 720 rpm

загальне передаточне відношення = 2 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,475 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(3/9,81) = 3,475 s

Відповідь

T = 3,475 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,497 m/s

Кутова частота

ω = √(320/2,8) = 10,69 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,14·10,69 = 1,497 m/s

Відповідь

v_max = 1,497 m/s

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,04002

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/1)·ln(40/31,1) = 0,2517

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2517/√(39,48 + 0,06334) = 0,04002

Відповідь

ζ = 0,04002

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 7,465 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 15 = 55 kN/m

Власна частота

ω_n = √(55000/25) = 46,9 rad/s

f_n = 46,9/(2π) = 7,465 Hz

Відповідь

f_n = 7,465 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics