Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 1,75 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1400 m.

v₀ = 0a = 1,75 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 20 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 20 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 4 m/s і зупиняється, пройшовши 8,2 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 4 m/sd = 8,2 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 1 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 60° над горизонталлю, і він падає на відстані 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 60°R = 15 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 32 m/s під кутом 35° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 11 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 32 m/sθ = 35°h_roof = 11 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 300 m має нахил полотна 15°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 300 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 100 m має нахил полотна 10°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 100 mθ = 10°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 5 m вздовж площини.

θ = 30°μ = 0,2d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 2000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 1 kgh = 4 mL = 3,5 mμ = 0,25k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 2 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 17 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 2 kgh = 17 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,25 kg ударяється об стіну зі швидкістю 29 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 19 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,25 kgv_in = 29 m/sv_out = 19 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 4 kg і довжиною 1,6 m закріплено шарнірно за один кінець і утримують горизонтально. Його відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть вертикальну силу R, з якою шарнір діє на стрижень одразу після відпускання.

m = 4 kgL = 1,6 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.Обертання твердого тілаСкладна

Людина стоїть на поворотному крузі без тертя й тримає в кожній руці гантель масою 3 kg на відстані 0,6 m від осі. Людина разом із кругом має момент інерції 4,5 kg·m² відносно осі. Вони обертаються з частотою 45 rpm, потім людина підтягує гантелі до відстані 0,2 m від осі. Вважайте гантелі точковими масами. Знайдіть нову частоту n₂ в rpm.

I₀ = 4,5 kg·m²m = 2 × 3 kgr₁ = 0,6 mr₂ = 0,2 mn₁ = 45 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з 24 зубцями й модулем 5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 1,5 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 5 mm

F_t = N

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (15 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1450 rpm і приводить колесо B (30 зуб.). Колесо C (15 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (18 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1450 rpmA = 15B = 30C = 15D = 18

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,2 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,2 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 100 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 16 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 5 cm від положення рівноваги.

k = 100 N/mA = 16 cmx = 5 cm

K = J

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 15 mm через 5 циклів іде пік 2,3 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 15 mmx₅ = 2,3 mmn = 5

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 5 kN/m і k₂ = 30 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 70 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·1,75·1400) = 70 m/s

Відповідь

v = 70 m/s

(252 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 30,39 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9,81) = 20,39 m

Висота над землею

h_max = 10 + 20,39 = 30,39 m

Відповідь

h_max = 30,39 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,09945

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 4²/(2·8,2) = 0,9756 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,9756/9,81 = 0,09945

Відповідь

μ = 0,09945

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 8,759 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 6,131)/3,5 = 1,051 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2,5·1,051 + 6,131 = 8,759 N

Відповідь

T = 8,759 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 13,04 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·15/sin 120°) = 13,04 m/s

Відповідь

v₀ = 13,04 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 78,44 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 26,21 m/s, v_y = 18,35 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

11 = 18,35·t − 4,905·t²

t = (18,35 + √(18,35² − 2·9,81·11))/9,81 = 2,993 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 26,21·2,993 = 78,44 m

Відповідь

x = 78,44 m

7.Рух по колу

Відповідь: v = 28,08 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(300·9,81·tan 15°) = 28,08 m/s

Відповідь

v = 28,08 m/s

(101,1 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 24,66 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(100·9,81·0,5676/0,9153) = 24,66 m/s

Відповідь

v_max = 24,66 m/s

(88,79 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,662 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·5·(0,5 − 0,2·0,866)) = 5,662 m/s

Відповідь

v = 5,662 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 17,51 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(4 − 0,25·3,5) = 30,66 J

Найбільше стиснення

½kx² = 30,66 → x = √(2·30,66/2000) = 0,1751 m = 17,51 cm

Відповідь

x = 17,51 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 245,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,17) = 1,826 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 2)·1,826/0,015 = 245,3 m/s

Відповідь

v = 245,3 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 1200 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,25·(19 + 29) = 12 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 12/0,01 = 1200 N

Відповідь

F_avg = 1200 N

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: R = 9,81 N

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Моменти відносно шарніра

У момент відпускання ω = 0, тож доцентрового прискорення немає, і центр прискорюється строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,6) = 9,197 rad/s²

Вертикальні сили

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 4·(9,81 − 7,357) = 9,81 N

Відповідь

R = 9,81 N

R = m·g/4, не залежить від довжини.

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: n₂ = 63,23 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Моменти інерції

I₁ = 4,5 + 2·3·0,6² = 6,66 kg·m²

I₂ = 4,5 + 2·3·0,2² = 4,74 kg·m²

Збереження моменту імпульсу

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 45·6,66/4,74 = 63,23 rpm

Відповідь

n₂ = 63,23 rpm

Кінетична енергія зростає: додаткова енергія береться з роботи, яку виконує людина, підтягуючи гантелі.

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 165,8 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 1500/150,8 = 9,947 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 5·24 = 120 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·9,947/0,12 = 165,8 N

Відповідь

F_t = 165,8 N

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 604,2 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1450·15/30 = 725 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 725·15/18 = 604,2 rpm

Відповідь

n_out = 604,2 rpm

загальне передаточне відношення = 2,4 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,3578 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,2/2π)² = 0,3578 m

Відповідь

L = 0,3578 m

18.Пружини й маятники

Відповідь: K = 1,155 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·100·0,16² = 1,28 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·100·0,05² = 0,125 J

Кінетична енергія

K = 1,28 − 0,125 = 1,155 J

Відповідь

K = 1,155 J

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,05958

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/5)·ln(15/2,3) = 0,375

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,375/√(39,48 + 0,1406) = 0,05958

Відповідь

ζ = 0,05958

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,211 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 30 = 35 kN/m

Власна частота

ω_n = √(35000/50) = 26,46 rad/s

f_n = 26,46/(2π) = 4,211 Hz

Відповідь

f_n = 4,211 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics