Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 60 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 60 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 26 m/s² протягом 3 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 26 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 17 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 17 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 20 N тягне передній брусок масою 4 kg; брусок масою 1 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgF = 20 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 28 m/s, і він має впасти на відстані 25 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 28 m/sR = 25 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 30 m/s під кутом 70° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 10 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 30 m/sθ = 70°h_roof = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1100 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 7 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 45 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1100 kgv = 7 m/sr = 45 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 3 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 38 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 9,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 3 kgh = 38 mR = 9,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 800 N/m. На неї кладуть кульку 0,05 kg, стискають пружину на 2 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,05 kgk = 800 N/mx = 2 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 1 kgh = 1,5 mL = 3 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1400 kg, що рухається зі швидкістю 16 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1800 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 1400 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 2 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,4 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 40° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 2 kgL = 1,4 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 7 kg і довжиною 0,9 m закріплено шарнірно за один кінець і утримують горизонтально. Його відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a_tip вільного кінця одразу після відпускання.

m = 7 kgL = 0,9 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля масою 8,5 kg котиться без проковзування зі швидкістю 1,5 m/s. Знайдіть його кінетичну енергію обертання E_rot.

m = 8,5 kgv = 1,5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 96 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 4 mm і передаточним відношенням 2 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₂ має мати колесо?

a = 96 mmm = 4 mmi = 2

N₂ =

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 4 kW із частотою 2900 rpm приводить колесо A (24 зубців), зчеплене з колесом B (36 зубців). Колесо C (18 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (25 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 96 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 4 kWn_in = 2900 rpmA = 24B = 36C = 18D = 25η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1 kg на пружині з k = 120 N/m відтягують на 3 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 1,45 s (зі знаком).

m = 1 kgk = 120 N/mA = 3 cmt = 1,45 s

v = m/s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3,8 kg на пружині з k = 210 N/m відтягують на 16 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 3,8 kgk = 210 N/mA = 16 cm

E = J

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 15 mm через 2 циклів іде пік 9,1 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 15 mmx₂ = 9,1 mmn = 2

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 15 kN/m, нижня — k₂ = 50 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 4,167 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16,67/4 = 4,167 s

Відповідь

t = 4,167 s

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 427,1 m

Активна ділянка

v₁ = 26·3 = 78 m/s

h₁ = ½·26·3² = 117 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 78²/(2·9,81) = 310,1 m

h_max = 117 + 310,1 = 427,1 m

Відповідь

h_max = 427,1 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,803 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 40° − 0,2·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1532) = 4,803 m/s²

Відповідь

a = 4,803 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 4 N

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (20 − 4,905)/5 = 3,019 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(3,019 + 0,981) = 4 N

Відповідь

T = 4 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 9,115 °

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·25/28² = 0,3128

Кут

2θ = 18,23° → θ = 9,115°

Відповідь

θ = 9,115°

Інший розв’язок 90° − θ = 80,89°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 55,07 m

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 10,26 m/s, v_y = 28,19 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

10 = 28,19·t − 4,905·t²

t = (28,19 + √(28,19² − 2·9,81·10))/9,81 = 5,368 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 10,26·5,368 = 55,07 m

Відповідь

x = 55,07 m

7.Рух по колу

Відповідь: N = 9593 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1100·9,81 − 1100·7²/45 = 10791 − 1198 = 9593 N

Відповідь

N = 9593 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 88,29 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(38 − 2·9,5) = 372,8 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 3·372,8/9,5 − 29,43 = 88,29 N

Відповідь

N_top = 88,29 N

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,3262 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 2 cm = 0,02 m

½kx² = ½·800·0,02² = 0,16 J

Висота

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0,16/0,4905 = 0,3262 m

Відповідь

h = 0,3262 m

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,852 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(1,5 − 0,1·3) = 11,77 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,2) = 4,852 m/s

Відповідь

v = 4,852 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 56,25 %

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·16/3200 = 7 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1400·16² = 179200 J

K_after = ½·3200·7² = 78400 J

Втрачена частка

ΔK/K = 100800/179200 = 56,25 %

Відповідь

ΔK/K = 56,25 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 636,3 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,4·(1 − cos 40°) = 0,3275 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,3275) = 2,535 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 2,008·2,535/0,008 = 636,3 m/s

Відповідь

v = 636,3 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: a_tip = 14,71 m/s²

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Моменти відносно шарніра

У момент відпускання ω = 0, тож доцентрового прискорення немає, і центр прискорюється строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·0,9) = 16,35 rad/s²

Прискорення вільного кінця

a_tip = α·L = 16,35·0,9 = 14,71 m/s²

Відповідь

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g для будь-якої довжини: вільний кінець падає швидше за кинутий камінь.

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: E_rot = 3,825 J

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Поступальна частина й частина обертання

E_trans = ½·m·v² = ½·8,5·1,5² = 9,563 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·9,563 = 3,825 J

Відповідь

E_rot = 3,825 J

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₂ = 32

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·96/4 = 48

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 48/(1 + 2) = 16

N₂ = 2·16 = 32

Відповідь

N₂ = 32

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 25,29 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 2900·(24/36)·(18/25) = 1392 rpm

ω_out = 2π·1392/60 = 145,8 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 4000·0,96² = 3686 W

T_out = P_out/ω_out = 3686/145,8 = 25,29 N·m

Відповідь

T_out = 25,29 N·m

17.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,05754 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(120/1) = 10,95 rad/s

ω·t = 10,95·1,45 = 15,88 rad

Швидкість

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,03·10,95·sin(15,88) = 0,05754 m/s

Відповідь

v = 0,05754 m/s

18.Пружини й маятники

Відповідь: E = 2,688 J

Кутова частота

ω = √(210/3,8) = 7,434 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·210·0,16² = 2,688 J

Відповідь

E = 2,688 J

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,03974

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(15/9,1) = 0,2499

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2499/√(39,48 + 0,06244) = 0,03974

Відповідь

ζ = 0,03974

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 7,646 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/50 → k_eq = 15·50/(15 + 50) = 11,54 kN/m

Власна частота

ω_n = √(11538/5) = 48,04 rad/s

f_n = 48,04/(2π) = 7,646 Hz

Відповідь

f_n = 7,646 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics