Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 50 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,9 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 50 km/ht_r = 0,9 sa = −8 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 26 m/s² протягом 3 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Через скільки часу після старту вона впаде на землю? Знайдіть t.

a = 26 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 30 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 40° над горизонталлю із силою 140 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 30 kgF = 140 Nθ = 40°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 26 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 27 m/s під кутом 30° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 30 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 27 m/sθ = 30°h = 30 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 2 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,5. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу кутову швидкість ω у rad/s.

r = 2 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 28 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 7 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 5 kgh = 28 mR = 7 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 18 m вздовж площини.

θ = 20°μ = 0,15d = 18 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2 kgh = 4 mL = 2 mμ = 0,3k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 13 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 20 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 5 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 50 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 8 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 13 kgu = 20 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 50 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1300 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1200 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 14,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1300 kgm₂ = 1200 kgd = 14,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Вантаж 4 kg висить на легкому шнурі, намотаному на шків — однорідний суцільний диск масою 11 kg і радіусом 0,3 m, що обертається на горизонтальній осі без тертя. Вантаж відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v вантажу після того, як він упаде на 3 m.

m = 4 kgM = 11 kgR = 0,3 mg = 9,81 m/s²h = 3 m

v = m/s

14.Обертання твердого тілаСкладна

тонкий обруч починає рух зі стану спокою й котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 15° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Його радіус — 0,2 m. Знайдіть його кутову швидкість ω після того, як він прокотиться 4,5 m вздовж схилу.

θ = 15°s = 4,5 mI = m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,2 m

ω = rad/s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 125 мм при 2880 об/хв приводить шків 500 мм пасом із прослизанням 2,5 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 500 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (72 зуб.). Колесо C (24 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (72 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1500 rpmA = 12B = 72C = 24D = 72

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,9 kg на пружині з k = 70 N/m відтягують на 12 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1,15 s (зі знаком).

m = 3,9 kgk = 70 N/mA = 12 cmt = 1,15 s

x = cm

18.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 0,9 s і амплітудою 18 cm. За який найменший час t воно переміститься з положення рівноваги до зміщення 10,8 cm?

T = 0,9 sA = 18 cmx = 10,8 cm

t = s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 15 kg спирається на пружину жорсткістю 4 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 150 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 15 kgk = 4 kN/mc = 150 N·s/m

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 50 kN/m і k₂ = 60 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 24,56 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 13,89·0,9 = 12,5 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·8) = 12,06 m

Разом

d = 12,5 + 12,06 = 24,56 m

Відповідь

d = 24,56 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 20,28 s

Активна ділянка

v₁ = 26·3 = 78 m/s

h₁ = ½·26·3² = 117 m

Вільний політ до землі

Розв’яжіть −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² і візьміть додатний корінь.

t₂ = (78 + √(78² + 2·9,81·117))/9,81 = 17,28 s

t = 3 + 17,28 = 20,28 s

Відповідь

t = 20,28 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 0,8507 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 140·sin 40° = 204,3 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 107,2 − 81,72

a = 25,52/30 = 0,8507 m/s²

Відповідь

a = 0,8507 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,803 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 0)/10,5 = 2,803 m/s²

Відповідь

a = 2,803 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 14,24 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 40° = 19,92 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 40° = 16,71 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 16,71²/(2·9,81) = 14,24 m

Відповідь

H = 14,24 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 39,29 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 27·sin 30° = 13,5 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 13,5²/(2·9,81) = 9,289 m

Висота над землею

H = 30 + 9,289 = 39,29 m

Відповідь

H = 39,29 m

7.Рух по колу

Відповідь: ω = 3,132 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·2)) = 3,132 rad/s

Відповідь

ω = 3,132 rad/s

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 147,2 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(28 − 2·7) = 274,7 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 5·274,7/7 − 49,05 = 147,2 N

Відповідь

N_top = 147,2 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,427 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·18·(0,342 − 0,15·0,9397)) = 8,427 m/s

Відповідь

v = 8,427 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 40,84 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 19,62·(4 − 0,3·2) = 66,71 J

Найбільше стиснення

½kx² = 66,71 → x = √(2·66,71/800) = 0,4084 m = 40,84 cm

Відповідь

x = 40,84 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 1,25 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 13·20 = 260 kg·m/s

Імпульс після удару

260 = 5·50 + 8·v′₂

v′₂ = (260 − 250)/8 = 1,25 m/s

Відповідь

v′₂ = 1,25 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 29,01 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·14,5) = 15,09 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·15,09/1300 = 29,01 m/s

Відповідь

v₁ = 29,01 m/s

(104,4 km/h)

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: v = 4,978 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Вантаж і шків

брусок: m·g − T = m·a

шків: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Прискорення

a = m·g/(m + M/2) = 4·9,81/(4 + 5,5) = 4,131 m/s²

Швидкість після падіння

v = √(2·a·h) = √(2·4,131·3) = 4,978 m/s

Відповідь

v = 4,978 m/s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: ω = 16,9 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Висота спуску

h = s·sin θ = 4,5·sin 15° = 1,165 m

Енергетичний баланс для кочення

Кочення без проковзування: ω = v/r, а тертя в точці контакту роботи не виконує.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·1,165/2) = 3,38 m/s

ω = v/r = 3,38/0,2 = 16,9 rad/s

Відповідь

ω = 16,9 rad/s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 702 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

2880·125/500 = 720 rpm

З прослизанням

n₂ = 720·0,975 = 702 rpm

Відповідь

n₂ = 702 rpm

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 83,33 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1500·12/72 = 250 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 250·24/72 = 83,33 rpm

Відповідь

n_out = 83,33 rpm

загальне передаточне відношення = 18 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: x = 1,908 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(70/3,9) = 4,237 rad/s

ω·t = 4,237·1,15 = 4,872 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(4,872) = 1,908 cm

Відповідь

x = 1,908 cm

18.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,09217 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/0,9 = 6,981 rad/s

Виразіть час

0,6 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,6) = 0,6435 rad

t = 0,6435/6,981 = 0,09217 s

Відповідь

t = 0,09217 s

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,3062

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·15) = 489,9 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 150/489,9 = 0,3062

Відповідь

ζ = 0,3062

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 110 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 60 = 110 kN/m

Відповідь

k_eq = 110 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics