Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 250 km/h, а довжина злітної смуги 1300 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1300 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 8 m/s з краю даху на висоті 35 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 8 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 18 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 18 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 14 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 18 m/s під кутом 60° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 60 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 18 m/sθ = 60°h = 60 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 130 m має нахил полотна 25°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 130 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 260 m має нахил полотна 18°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 260 mθ = 18°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 0,5 kg ковзає 19 m похилою площиною під кутом 25° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,2. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 0,5 kgθ = 25°μ = 0,2d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,1). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 5 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 0,5 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 5 kgμ = 0,1d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 18 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 1,5 kgh = 18 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,7 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 30° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 1 kgL = 1,7 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Двигун розганяє маховик із моментом інерції 7 kg·m² зі стану спокою до 700 rpm за 11 s. Нехтуючи втратами, знайдіть середню потужність P_avg, яку він віддає, у kW.

I = 7 kg·m²n = 700 rpmt = 11 s

P_avg = kW

14.Обертання твердого тілаСкладна

Людина стоїть на поворотному крузі без тертя й тримає в кожній руці гантель масою 3 kg на відстані 0,85 m від осі. Людина разом із кругом має момент інерції 3,5 kg·m² відносно осі. Вони обертаються з частотою 45 rpm, потім людина підтягує гантелі до відстані 0,3 m від осі. Вважайте гантелі точковими масами. Знайдіть нову частоту n₂ в rpm.

I₀ = 3,5 kg·m²m = 2 × 3 kgr₁ = 0,85 mr₂ = 0,3 mn₁ = 45 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 2,2 kW із частотою обертання 1500 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 15, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 16. ККД зубчастої пари — 95 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 2,2 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 15N₂ = 16η = 95%

T₁ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 100 мм і шків 400 мм, центри яких розташовані на відстані 1200 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 100 mmd₂ = 400 mmC = 1200 mm

θ = °

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,6 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 70 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 11 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 1 cm від положення рівноваги.

k = 70 N/mA = 11 cmx = 1 cm

K = J

19.Механічні коливанняСередня

Маса 2 kg спирається на пружину жорсткістю 15 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 70 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 2 kgk = 15 kN/mc = 70 N·s/m

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на пружині k₃ = 25 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 50 kN/m і k₂ = 80 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 1,855 m/s²

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v = 250/3,6 = 69,44 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 69,44²/(2·1300) = 1,855 m/s²

Відповідь

a = 1,855 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 38,26 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9,81) = 3,262 m

Висота над землею

h_max = 35 + 3,262 = 38,26 m

Відповідь

h_max = 38,26 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,627 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Відповідь

a = 5,627 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 20,2 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/8,5 = 4,039 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·4,039 + 0 = 20,2 N

Відповідь

T = 20,2 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 12,84 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 20° = 13,16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 20° = 4,788 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·4,788/9,81 = 0,9762 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 13,16·0,9762 = 12,84 m

Відповідь

x = 12,84 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 72,39 m

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 18·sin 60° = 15,59 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 15,59²/(2·9,81) = 12,39 m

Висота над землею

H = 60 + 12,39 = 72,39 m

Відповідь

H = 72,39 m

7.Рух по колу

Відповідь: v = 24,39 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(130·9,81·tan 25°) = 24,39 m/s

Відповідь

v = 24,39 m/s

(87,79 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 33,47 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(260·9,81·0,4041/0,9202) = 33,47 m/s

Відповідь

v_max = 33,47 m/s

(120,5 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 16,89 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 4,905·0,9063 = 4,445 N

F = μN = 0,2·4,445 = 0,8891 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 0,8891·19 = 16,89 J

Відповідь

W_f = 16,89 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 1,617 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 49,05·0,5 = 24,53 J

μ·m₁g·d = 0,1·98,1·0,5 = 4,905 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 19,62 → v = √(2·19,62/15) = 1,617 m/s

Відповідь

v = 1,617 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 354,2 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,18) = 1,879 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 1,5)·1,879/0,008 = 354,2 m/s

Відповідь

v = 354,2 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 213,5 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,7·(1 − cos 30°) = 0,2278 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,2278) = 2,114 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,01·2,114/0,01 = 213,5 m/s

Відповідь

v = 213,5 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: P_avg = 1,71 kW

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·700/60 = 73,3 rad/s

Енергія

E = ½·I·ω² = ½·7·73,3² = 18807 J

Середня потужність

P_avg = E/t = 18807/11 = 1710 W = 1,71 kW

Відповідь

P_avg = 1,71 kW

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: n₂ = 87,27 rpm

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Моменти інерції

I₁ = 3,5 + 2·3·0,85² = 7,835 kg·m²

I₂ = 3,5 + 2·3·0,3² = 4,04 kg·m²

Збереження моменту імпульсу

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 45·7,835/4,04 = 87,27 rpm

Відповідь

n₂ = 87,27 rpm

Кінетична енергія зростає: додаткова енергія береться з роботи, яку виконує людина, підтягуючи гантелі.

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 14,01 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/157,1 = 14,01 N·m

Відповідь

T₁ = 14,01 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 165,6 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,125) = 7,181°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·7,181 = 165,6°

Відповідь

θ = 165,6°

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 1,554 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,6/9,81) = 1,554 s

Відповідь

T = 1,554 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: K = 0,42 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·70·0,11² = 0,4235 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·70·0,01² = 0,0035 J

Кінетична енергія

K = 0,4235 − 0,0035 = 0,42 J

Відповідь

K = 0,42 J

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,2021

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·2) = 346,4 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 70/346,4 = 0,2021

Відповідь

ζ = 0,2021

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,305 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 50 + 80 = 130 kN/m

k_eq = 130·25/(130 + 25) = 20,97 kN/m

Власна частота

ω_n = √(20968/100) = 14,48 rad/s

f_n = 14,48/(2π) = 2,305 Hz

Відповідь

f_n = 2,305 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics