Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 100 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 3 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 3 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 15 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 15 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 9,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 32 m/s під кутом 50° над горизонталлю в бік стіни на відстані 21 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 32 m/sθ = 50°x = 21 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 14 m/s під кутом 55° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 14 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 30 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 30 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 250 m має нахил полотна 15°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 250 mθ = 15°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 0,5 kg ковзає 14 m похилою площиною під кутом 20° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 0,5 kgθ = 20°μ = 0,1d = 14 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2 kgh = 5 mL = 2 mμ = 0,25k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 3 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 10 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 3 kgh = 10 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,7 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 20° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 5 kgL = 1,7 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 7,5 kg і довжиною 2 m закріплено шарнірно за один кінець і відпускають зі стану спокою з горизонтального положення. Нехтуйте тертям і візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v вільного кінця, коли стрижень проходить вертикальне положення.

m = 7,5 kgL = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Обертання твердого тілаСкладна

Однорідний суцільний диск (маса 17 kg, радіус 0,45 m) вільно обертається з частотою 750 rpm навколо вертикального вала без тертя. На нього зі стану спокою опускають тонке кільце масою 15 kg того самого радіуса, центроване на валу, і обидва тіла швидко починають обертатися разом. Знайдіть їхню спільну частоту n₂ в rpm.

M_disc = 17 kgM_ring = 15 kgR = 0,45 mn₁ = 750 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 5,5 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 30, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 48. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 5,5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 30N₂ = 48η = 97%

T₁ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 20 зубців, а кожен сателіт — 20 зубців. Вінець (коронне колесо) закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 900 rpm. Знайдіть частоту обертання n_c водила.

N_s = 20N_p = 20n_s = 900 rpm

n_c = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,6 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,6 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 1,3 s і амплітудою 5 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 5 cm до зміщення 2 cm?

T = 1,3 sA = 5 cmx = 2 cm

t = s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 25 kg на пружині жорсткістю 150 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,6. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 25 kgk = 150 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 50 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 20 kN/m і k₂ = 40 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 51,44 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·7,5) = 51,44 m

Відповідь

s = 51,44 m

2.Кінематика

Відповідь: d = 40,72 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(3 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1029 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1029))/(2·4,905) = 2,881 s

Глибина

d = ½·9,81·2,881² = 40,72 m

Відповідь

d = 40,72 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,356 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,3·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2598) = 2,356 m/s²

Відповідь

a = 2,356 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 13,98 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 9,32)/11 = 0,4905 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9,5·0,4905 + 9,32 = 13,98 N

Відповідь

T = 13,98 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 19,91 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 32·cos 50° = 20,57 m/s

t = x/v_x = 21/20,57 = 1,021 s

Висота в цей момент

y = 24,51·1,021 − ½·9,81·1,021² = 19,91 m

Відповідь

y = 19,91 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 21,7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 14·sin 55° = 11,47 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 11,47²/(2·9,81) = 6,703 m

Висота над землею

H = 15 + 6,703 = 21,7 m

Відповідь

H = 21,7 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 14,35 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·30) = 14,35 m/s

Відповідь

v_max = 14,35 m/s (51,67 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 38,92 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(250·9,81·0,5486/0,8883) = 38,92 m/s

Відповідь

v_max = 38,92 m/s

(140,1 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 6,453 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 4,905·0,9397 = 4,609 N

F = μN = 0,1·4,609 = 0,4609 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 0,4609·14 = 6,453 J

Відповідь

W_f = 6,453 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 42,02 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 19,62·(5 − 0,25·2) = 88,29 J

Найбільше стиснення

½kx² = 88,29 → x = √(2·88,29/1000) = 0,4202 m = 42,02 cm

Відповідь

x = 42,02 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 351,6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,1) = 1,401 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 3)·1,401/0,012 = 351,6 m/s

Відповідь

v = 351,6 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 356 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,7·(1 − cos 20°) = 0,1025 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,1025) = 1,418 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 5,02·1,418/0,02 = 356 m/s

Відповідь

v = 356 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: v = 7,672 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Втрата потенціальної енергії

m·g·L/2 = 7,5·9,81·1 = 73,58 J

Момент інерції відносно шарніра

I_O = m·L²/3 = 7,5·2²/3 = 10 kg·m²

Енергетичний баланс

½·I_O·ω² = 73,58 → ω = √(2·73,58/10) = 3,836 rad/s

v = ω·L = 3,836·2 = 7,672 m/s

Відповідь

v = 7,672 m/s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: n₂ = 271,3 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Моменти інерції

I₁ = ½·17·0,45² = 1,721 kg·m²

I₂ = 15·0,45² = 3,038 kg·m²

Збереження моменту імпульсу

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 750·1,721/4,759 = 271,3 rpm

Відповідь

n₂ = 271,3 rpm

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 18,11 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/303,7 = 18,11 N·m

Відповідь

T₁ = 18,11 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_c = 225 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·20 = 60

Формула Вілліса за нерухомого вінця

Підставте n_r = 0 і знайдіть частоту обертання водила.

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −60/20

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·20/80 = 225 rpm

Відповідь

n_c = 225 rpm

Водило обертається в тому самому напрямку, що й сонячне колесо.

17.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,6361 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,6/2π)² = 0,6361 m

Відповідь

L = 0,6361 m

18.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,2399 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/1,3 = 4,833 rad/s

Виразіть час

0,4 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,4) = 1,159 rad

t = 1,159/4,833 = 0,2399 s

Відповідь

t = 0,2399 s

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 9,862 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(150000/25) = 77,46 rad/s

f_n = 77,46/(2π) = 12,33 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 12,33·√(1 − 0,6²) = 9,862 Hz

Відповідь

f_d = 9,862 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 5,877 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 20 + 40 = 60 kN/m

k_eq = 60·50/(60 + 50) = 27,27 kN/m

Власна частота

ω_n = √(27273/20) = 36,93 rad/s

f_n = 36,93/(2π) = 5,877 Hz

Відповідь

f_n = 5,877 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics