Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 60 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 60 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 3 m/s² протягом 5 s, потім їде зі сталою швидкістю 26 s і нарешті гальмує з прискоренням 4,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 5 st₂ = 26 sa₃ = −4,5 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 14 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 14 kgθ = 45°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 1 kg на похилій площині з кутом 40° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 1 kgm₂ = 5 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 20° над горизонталлю, і він падає на відстані 95 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 20°R = 95 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 25 m/s під кутом 55° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 30 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 25 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 2,8 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу кутову швидкість ω у rad/s.

r = 2,8 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 8 m вздовж площини.

θ = 35°μ = 0,2d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4,5 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 2000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 1 kgh = 2,5 mL = 4,5 mμ = 0,2k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3 kg, що рухається зі швидкістю 8 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,4 kg ударяється об стіну зі швидкістю 9 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 11 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,4 kgv_in = 9 m/sv_out = 11 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Обертання твердого тілаСередня

Вал передає 196 kW за частоти 1200 rpm. Знайдіть крутний момент T у валу.

P = 196 kWn = 1200 rpm

T = N·m

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля масою 0,5 kg котиться без проковзування зі швидкістю 3 m/s. Знайдіть його повну кінетичну енергію E_k.

m = 0,5 kgv = 3 m/sI = (2/5)·m·r²

E_k = J

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 4 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з 30 зубцями й модулем 4 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 4 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 4 mm

F_t = N

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (24 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (80 зуб.). Колесо C (24 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (60 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1440 rpmA = 24B = 80C = 24D = 60

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,5 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,5 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,9 kg на пружині з k = 260 N/m відтягують на 14 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 0,9 kgk = 260 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 15 kg на пружині жорсткістю 5 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 15 kgk = 5 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 5 kN/m і k₂ = 25 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 30,86 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·4,5) = 30,86 m

Відповідь

s = 30,86 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 452,5 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 3·5 = 15 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·3·5² = 37,5 m

s₂ = 15·26 = 390 m

s₃ = 15²/(2·4,5) = 25 m

Повна відстань

s = 37,5 + 390 + 25 = 452,5 m

Відповідь

s = 452,5 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,549 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0,2·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1414) = 5,549 m/s²

Відповідь

a = 5,549 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 6,936 m/s²

Сили вздовж нитки

m₂·g = 49,05 N

m₁·g·sin θ = 6,306 N

μ·m₁·g·cos θ = 1,127 N

Прискорення системи

a = (49,05 − 6,306 − 1,127)/6 = 6,936 m/s²

Відповідь

a = 6,936 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 38,08 m/s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·95/sin 40°) = 38,08 m/s

Відповідь

v₀ = 38,08 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 51,38 m

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 25·sin 55° = 20,48 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 20,48²/(2·9,81) = 21,38 m

Висота над землею

H = 30 + 21,38 = 51,38 m

Відповідь

H = 51,38 m

7.Рух по колу

Відповідь: ω = 2,416 rad/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·2,8)) = 2,416 rad/s

Відповідь

ω = 2,416 rad/s

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 3,836 m/s

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,5) = 3,836 m/s

Відповідь

v_min = 3,836 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,02 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·8·(0,5736 − 0,2·0,8192)) = 8,02 m/s

Відповідь

v = 8,02 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 12,53 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(2,5 − 0,2·4,5) = 15,7 J

Найбільше стиснення

½kx² = 15,7 → x = √(2·15,7/2000) = 0,1253 m = 12,53 cm

Відповідь

x = 12,53 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 9,6 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3 − 2)/(3 + 2)·8 = 1,6 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2)·8 = 9,6 m/s

Відповідь

v′₂ = 9,6 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 8 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,4·(11 + 9) = 8 N·s

Відповідь

J = 8 N·s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: T = 1560 N·m

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 196000/125,7 = 1560 N·m

Відповідь

T = 1560 N·m

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: E_k = 3,15 J

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Поступальна частина й частина обертання

E_trans = ½·m·v² = ½·0,5·3² = 2,25 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·2,25 = 0,9 J

Разом

E_k = 2,25 + 0,9 = 3,15 J

Відповідь

E_k = 3,15 J

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 442,1 N

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 4000/150,8 = 26,53 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 4·30 = 120 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·26,53/0,12 = 442,1 N

Відповідь

F_t = 442,1 N

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 172,8 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1440·24/80 = 432 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 432·24/60 = 172,8 rpm

Відповідь

n_out = 172,8 rpm

загальне передаточне відношення = 8,333 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: L = 1,553 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,5/2π)² = 1,553 m

Відповідь

L = 1,553 m

18.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 2,38 m/s

Кутова частота

ω = √(260/0,9) = 17 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,14·17 = 2,38 m/s

Відповідь

v_max = 2,38 m/s

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 2,722 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(5000/15) = 18,26 rad/s

f_n = 18,26/(2π) = 2,906 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,906·√(1 − 0,35²) = 2,722 Hz

Відповідь

f_d = 2,722 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 30 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 25 = 30 kN/m

Відповідь

k_eq = 30 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics