Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 240 km/h, а довжина злітної смуги 1400 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 240 km/hs = 1400 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 3,8 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 3,8 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 5 m/s і зупиняється, пройшовши 25 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 5 m/sd = 25 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 24 m/s, і він має впасти на відстані 45 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 24 m/sR = 45 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 30 m/s під кутом 45° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 5 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 30 m/sθ = 45°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 135 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 135 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,8 kg на нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 8 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,8 kgr = 1,5 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 60 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 60 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 1500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 5 kgh = 1,5 mL = 5 mμ = 0,15k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 13 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 1 kgh = 13 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,15 kg ударяється об стіну зі швидкістю 25 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 19 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,15 kgv_in = 25 m/sv_out = 19 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 10,5 kg·m² обертається з частотою 1000 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 165 N·m. Скільки часу t він зупиняється?

I = 10,5 kg·m²n = 1000 rpmT_b = 165 N·m

t = s

14.Обертання твердого тілаСкладна

Однорідний тонкий стрижень масою 9,5 kg і довжиною 0,7 m висить у спокої на шарнірі без тертя на верхньому кінці. Куля масою 20 g, що летить горизонтально зі швидкістю 240 m/s, влучає в стрижень на 0,48 m нижче за шарнір і застрягає в ньому. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільший кут φ відхилення стрижня від вертикалі.

M = 9,5 kgL = 0,7 mm = 20 gv = 240 m/sd = 0,48 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 160 мм при 1440 об/хв приводить шків 315 мм пасом із прослизанням 4 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 315 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (25 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (45 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (80 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1500 rpmA = 25B = 45C = 18D = 80

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,5 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,8 kg на пружині з k = 410 N/m відтягують на 12 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,8 kgk = 410 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

19.Механічні коливанняСередня

Маса 40 kg на пружині жорсткістю 80 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,7. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 40 kgk = 80 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на пружині k₃ = 50 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 100 kN/m і k₂ = 5 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 1,587 m/s²

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v = 240/3,6 = 66,67 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 66,67²/(2·1400) = 1,587 m/s²

Відповідь

a = 1,587 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: d = 64,04 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(3,8 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1303 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1303))/(2·4,905) = 3,613 s

Глибина

d = ½·9,81·3,613² = 64,04 m

Відповідь

d = 64,04 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,05097

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 5²/(2·25) = 0,5 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,5/9,81 = 0,05097

Відповідь

μ = 0,05097

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 19,62 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 4,905)/7,5 = 5,886 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2,5·5,886 + 4,905 = 19,62 N

Відповідь

T = 19,62 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 25,02 °

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·45/24² = 0,7664

Кут

2θ = 50,03° → θ = 25,02°

Відповідь

θ = 25,02°

Інший розв’язок 90° − θ = 64,98°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 86,44 m

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 21,21 m/s, v_y = 21,21 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

5 = 21,21·t − 4,905·t²

t = (21,21 + √(21,21² − 2·9,81·5))/9,81 = 4,075 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 21,21·4,075 = 86,44 m

Відповідь

x = 86,44 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 25,73 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·135) = 25,73 m/s

Відповідь

v_max = 25,73 m/s (92,64 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 41,98 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,8·9,81 + 0,8·8²/1,5 = 7,848 + 34,13 = 41,98 N

Відповідь

T = 41,98 N

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 20,23 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 60/3,6 = 16,67 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16,67²/(2·0,7·9,81) = 20,23 m

Відповідь

d = 20,23 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 22,15 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 49,05·(1,5 − 0,15·5) = 36,79 J

Найбільше стиснення

½kx² = 36,79 → x = √(2·36,79/1500) = 0,2215 m = 22,15 cm

Відповідь

x = 22,15 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 108,1 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,13) = 1,597 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 1)·1,597/0,015 = 108,1 m/s

Відповідь

v = 108,1 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 330 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,15·(19 + 25) = 6,6 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 6,6/0,02 = 330 N

Відповідь

F_avg = 330 N

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: t = 6,664 s

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

Сповільнення і час

α = T_b/I = 165/10,5 = 15,71 rad/s²

t = ω/α = 104,7/15,71 = 6,664 s

Відповідь

t = 6,664 s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: φ = 18,58 °

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Момент інерції після удару

I = M·L²/3 + m·d² = 9,5·0,7²/3 + 0,02·0,48² = 1,556 kg·m²

Момент імпульсу відносно шарніра

Сила в шарнірі проходить через шарнір, тож під час удару не має там моменту.

m·v·d = I·ω → ω = 0,02·240·0,48/1,556 = 1,48 rad/s

Енергія під час хитання

½·I·ω² = ½·1,556·1,48² = 1,705 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 32,71·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 1,705/32,71 = 0,9479 → φ = 18,58°

Відповідь

φ = 18,58°

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 702,2 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

1440·160/315 = 731,4 rpm

З прослизанням

n₂ = 731,4·0,96 = 702,2 rpm

Відповідь

n₂ = 702,2 rpm

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 187,5 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1500·25/45 = 833,3 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 833,3·18/80 = 187,5 rpm

Відповідь

n_out = 187,5 rpm

загальне передаточне відношення = 8 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 1,419 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,5/9,81) = 1,419 s

Відповідь

T = 1,419 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 17,57 m/s²

Кутова частота

ω = √(410/2,8) = 12,1 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,12·12,1² = 17,57 m/s²

Відповідь

a_max = 17,57 m/s²

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 5,083 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(80000/40) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,7²) = 5,083 Hz

Відповідь

f_d = 5,083 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,631 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 100 + 5 = 105 kN/m

k_eq = 105·50/(105 + 50) = 33,87 kN/m

Власна частота

ω_n = √(33871/40) = 29,1 rad/s

f_n = 29,1/(2π) = 4,631 Hz

Відповідь

f_n = 4,631 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics