Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 3 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1100 m.
Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 1,7 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.
Брусок масою 18 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.
Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 35° зі швидкістю 9 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?
М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.
М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з вершини скелі висотою 45 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 135 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.
Візок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 22,4 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 7 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції Ntop траси на візок у верхній точці петлі.
Автомобіль масою 1200 kg піднімається схилом 4° зі сталою швидкістю 72 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 200 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.
Брусок масою 8 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 30° і його тягнуть угору сталою силою 95 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 6 m угору схилом.
Автомобіль масою 1900 kg, що рухається зі швидкістю 15 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1300 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?
М’яч масою 0,15 kg ударяється об стіну зі швидкістю 25 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 9 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть середню силу Favg, з якою стіна діє на м’яч.
Однорідний тонкий стрижень масою 8 kg і довжиною 0,7 m закріплено шарнірно за один кінець і відпускають зі стану спокою з горизонтального положення. До його вільного кінця прикріплено маленьку кульку масою 4 kg. Нехтуйте тертям і візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v вільного кінця, коли стрижень проходить вертикальне положення.
Однорідний тонкий стрижень масою 9,5 kg і довжиною 0,7 m висить у спокої на шарнірі без тертя на верхньому кінці. Куля масою 35 g, що летить горизонтально зі швидкістю 300 m/s, влучає в стрижень на 0,28 m нижче за шарнір і застрягає в ньому. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільший кут φ відхилення стрижня від вертикалі.
Двигун потужністю 3 kW із частотою обертання 1500 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 12, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 45. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть вихідний крутний момент T2 на валу колеса.
У планетарній передачі сонячне колесо має 15 зубців, а кожен сателіт — 12 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 1440 rpm. Знайдіть частоту обертання nr вінця (за модулем).
Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,5 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.
Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 4 s і амплітудою 4 cm. За який найменший час t воно переміститься з положення рівноваги до зміщення 1,6 cm?
Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 20 mm через 2 циклів іде пік 9,4 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
Маса 50 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 5 kN/m, нижня — k₂ = 40 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.
Відповідь: v = 81,24 m/s
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Відповідь: d = 13,53 m
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Фізичний зміст має лише додатний корінь.
Відповідь: a = 2,812 m/s²
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Униз уздовж площини — додатний напрямок.
Відповідь: d = 5,599 m
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.
Відповідь: x = 25,3 m
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Старт і приземлення на одній висоті: t = 2vy/g.
Відповідь: t = 5,167 s
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
Відповідь: vmax = 19,93 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: Ntop = 34,34 N
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Напрямок до центра додатний.
Відповідь: P = 20,42 kW
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.
Відповідь: v = 8,57 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Відповідь: ΔK = 86836 J
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.
Відповідь: Favg = 204 N
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Відповідь: v = 4,06 m/s
Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.
Відповідь: φ = 23,79 °
Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.
Сила в шарнірі проходить через шарнір, тож під час удару не має там моменту.
Відповідь: T2 = 69,47 N·m
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Відповідь: nr = 553,8 rpm
Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.
При nc = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.
Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.
Відповідь: L = 0,5591 m
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: t = 0,262 s
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: ζ = 0,05997
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Відповідь: keq = 4,444 kN/m
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics