Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Автомобіль, що їде зі швидкістю 80 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.
Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 25 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 22 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Коли кульки зустрінуться? Знайдіть t.
Вантажі масами 4,5 kg і 3,5 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.
Брусок масою 10 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.
М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з вершини скелі висотою 40 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 75 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.
Кульку масою 1,2 kg на легкій нитці завдовжки 0,6 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 6,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу Ttop нитки в найвищій точці.
Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 2000 N/m. На неї кладуть кульку 0,5 kg, стискають пружину на 10 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.
Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2,5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.
Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 9 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′1 першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).
На перехресті автомобіль масою 900 kg, що їде на схід зі швидкістю 18 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1900 kg, що їде на північ зі швидкістю 12 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.
Вантаж 10 kg висить на легкому шнурі, намотаному на шків — однорідний суцільний диск масою 13 kg і радіусом 0,15 m, що обертається на горизонтальній осі без тертя. Вантаж відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть натяг T шнура.
тонкий обруч починає рух зі стану спокою й котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 35° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його швидкість v після того, як він прокотиться 2 m вздовж схилу.
Шків 150 мм при 960 об/хв приводить шків 250 мм пасом із прослизанням 1 %. Знайдіть частоту обертання n2 веденого шківа.
У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (15 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (72 зуб.). Колесо C (15 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (16 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання nout.
Вантаж масою 1,4 kg на пружині з k = 40 N/m відтягують на 11 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 1,2 s (зі знаком).
Вантаж на пружині з k = 480 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 8 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 4 cm від положення рівноваги.
Маса 20 kg на пружині жорсткістю 150 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,6. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань fd у Hz.
Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 30 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 10 kN/m і k₂ = 20 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту fn вертикальних коливань у Hz.
Відповідь: s = 70,55 m
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Відповідь: t = 1,136 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Напрямок угору додатний, земля — y = 0.
Відповідь: T = 38,63 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.
Відповідь: T = 34,81 N
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Відповідь: t = 1,673 s
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Старт і приземлення на одній висоті: t = 2vy/g.
Відповідь: t = 4,694 s
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
Відповідь: vmax = 19,18 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: Ttop = 25,64 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.
Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.
Відповідь: h = 2,039 m
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Відповідь: x = 11,75 cm
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.
Відповідь: v′1 = −2,571 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.
Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.
Відповідь: θ = 54,61 °
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Відповідь: T = 38,65 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Відповідь: v = 3,355 m/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Кочення без проковзування: ω = v/r, а тертя в точці контакту роботи не виконує.
Відповідь: n2 = 570,2 rpm
Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.
Відповідь: nout = 293 rpm
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
загальне передаточне відношення = 5,12 : 1
Відповідь: v = −0,07685 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: K = 1,152 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: fd = 11,03 Hz
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Відповідь: fn = 4,359 Hz
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Паралельні лише k1 і k2. Ця пара з’єднана послідовно з k3, тож об’єднуйте їх через обернені величини.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics