Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 36 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 6 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 36 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 4,2 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 4,2 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 10 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 10 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 8 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 0,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 8 kgm₂ = 0,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 22 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 50° до горизонту з вершини скелі висотою 25 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 12 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1800 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 24 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 90 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1800 kgv = 24 m/sr = 90 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,7 kg на нитці завдовжки 0,6 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 7,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,7 kgr = 0,6 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1800 kg піднімається схилом 3° зі сталою швидкістю 54 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 300 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1800 kgθ = 3°F_r = 300 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 8 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 25° і його тягнуть угору сталою силою 60 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 6 m угору схилом.

m = 8 kgF = 60 Nθ = 25°μ = 0,1d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1500 kg, що рухається зі швидкістю 8 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1500 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1500 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1000 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1900 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 10 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1000 kgm₂ = 1900 kgd = 10 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Вал передає 114,5 kW за частоти 800 rpm. Знайдіть крутний момент T у валу.

P = 114,5 kWn = 800 rpm

T = N·m

14.Обертання твердого тілаСкладна

Однорідний суцільний диск (маса 35 kg, радіус 0,3 m) вільно обертається з частотою 150 rpm навколо вертикального вала без тертя. На нього зі стану спокою опускають тонке кільце масою 4 kg того самого радіуса, центроване на валу, і обидва тіла швидко починають обертатися разом. Знайдіть їхню спільну частоту n₂ в rpm.

M_disc = 35 kgM_ring = 4 kgR = 0,3 mn₁ = 150 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 4 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 36, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 80. Втратами знехтуйте. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 4 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 36N₂ = 80η = 100%

T₂ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 11 kW із частотою 2900 rpm приводить колесо A (18 зубців), зчеплене з колесом B (72 зубців). Колесо C (18 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (48 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 97 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 11 kWn_in = 2900 rpmA = 18B = 72C = 18D = 48η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,2 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,2 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 170 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 9 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 1 cm від положення рівноваги.

k = 170 N/mA = 9 cmx = 1 cm

K = J

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 10 mm через 2 циклів іде пік 2,2 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 2,2 mmn = 2

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 50 kN/m і k₂ = 15 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 8,333 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·6) = 8,333 m

Відповідь

s = 8,333 m

2.Кінематика

Відповідь: d = 77,47 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(4,2 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1441 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1441))/(2·4,905) = 3,974 s

Глибина

d = ½·9,81·3,974² = 77,47 m

Відповідь

d = 77,47 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,905 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0) = 4,905 m/s²

Відповідь

a = 4,905 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 0,5771 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4,905 − 0)/8,5 = 0,5771 m/s²

Відповідь

a = 0,5771 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 18,5 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 60° = 11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 60° = 19,05 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 19,05²/(2·9,81) = 18,5 m

Відповідь

H = 18,5 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,381 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 50° = 7,713 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 50° = 9,193 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 25 + 9,193·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,193 + √(84,5 + 490,5))/9,81 = 3,381 s

Відповідь

t = 3,381 s

7.Рух по колу

Відповідь: N = 6138 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9,81 − 1800·24²/90 = 17658 − 11520 = 6138 N

Відповідь

N = 6138 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: T = 176,1 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,7·9,81 + 1,7·7,5²/0,6 = 16,68 + 159,4 = 176,1 N

Відповідь

T = 176,1 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 18,36 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1800·9,81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 3° = 924,1 N

F = 924,1 + 300 = 1224 N

Потужність

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1224·15 = 18362 W = 18,36 kW

Відповідь

P = 18,36 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,439 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 33,17 N

μ·mg·cos θ = 7,113 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (60 − 40,28)·6 = 118,3 J

v = √(2·118,3/8) = 5,439 m/s

Відповідь

v = 5,439 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 24000 J

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·8/3000 = 4 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1500·8² = 48000 J

K_after = ½·3000·4² = 24000 J

Втрачена енергія

ΔK = 48000 − 24000 = 24000 J

Відповідь

ΔK = 24000 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 31,46 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·10) = 10,85 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·10,85/1000 = 31,46 m/s

Відповідь

v₁ = 31,46 m/s

(113,3 km/h)

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: T = 1367 N·m

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·800/60 = 83,78 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 114500/83,78 = 1367 N·m

Відповідь

T = 1367 N·m

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: n₂ = 122,1 rpm

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Моменти інерції

I₁ = ½·35·0,3² = 1,575 kg·m²

I₂ = 4·0,3² = 0,36 kg·m²

Збереження моменту імпульсу

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 150·1,575/1,935 = 122,1 rpm

Відповідь

n₂ = 122,1 rpm

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 29,27 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/303,7 = 13,17 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 13,17·80/36·1 = 29,27 N·m

Відповідь

T₂ = 29,27 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 363,5 N·m

Вихідна частота обертання

n_out = 2900·(18/72)·(18/48) = 271,9 rpm

ω_out = 2π·271,9/60 = 28,47 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 11000·0,97² = 10350 W

T_out = P_out/ω_out = 10350/28,47 = 363,5 N·m

Відповідь

T_out = 363,5 N·m

17.Пружини й маятники

Відповідь: L = 1,203 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,2/2π)² = 1,203 m

Відповідь

L = 1,203 m

18.Пружини й маятники

Відповідь: K = 0,68 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·170·0,09² = 0,6885 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·170·0,01² = 0,0085 J

Кінетична енергія

K = 0,6885 − 0,0085 = 0,68 J

Відповідь

K = 0,68 J

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1196

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(10/2,2) = 0,7571

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7571/√(39,48 + 0,5731) = 0,1196

Відповідь

ζ = 0,1196

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 9,073 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 15 = 65 kN/m

Власна частота

ω_n = √(65000/20) = 57,01 rad/s

f_n = 57,01/(2π) = 9,073 Hz

Відповідь

f_n = 9,073 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics