Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 60 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 60 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1 m/s² протягом 5 s, потім їде зі сталою швидкістю 12 s і нарешті гальмує з прискоренням 4,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 5 st₂ = 12 sa₃ = −4,5 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 17 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 17 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3 kg на похилій площині з кутом 40° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 4 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Тертя на похилій площині відсутнє. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgθ = 40°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 45° над горизонталлю, і він падає на відстані 115 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 45°R = 115 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 17 m/s під кутом 40° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 5 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 17 m/sθ = 40°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Інженер-дорожник хоче, щоб автомобілі проходили поворот радіусом 280 m зі швидкістю 100 km/h без опори на тертя. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кут нахилу полотна θ.

r = 280 mv = 100 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,5 kg на легкій нитці завдовжки 0,8 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 11 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,5 kgr = 0,8 mv_bottom = 11 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 500 N/m. На неї кладуть кульку 0,05 kg, стискають пружину на 2 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,05 kgk = 500 N/mx = 2 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 4 kgh = 4 mL = 5 mμ = 0,1k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1500 kg, що рухається зі швидкістю 9 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 500 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1500 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1400 kg налітає на припаркований автомобіль масою 900 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 8 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1400 kgm₂ = 900 kgd = 8 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 15,5 kg і довжиною 3 m закріплено шарнірно за один кінець і утримують горизонтально. Його відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a_tip вільного кінця одразу після відпускання.

m = 15,5 kgL = 3 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Обертання твердого тілаСкладна

Людина стоїть на поворотному крузі без тертя й тримає в кожній руці гантель масою 4 kg на відстані 0,9 m від осі. Людина разом із кругом має момент інерції 2,5 kg·m² відносно осі. Вони обертаються з частотою 55 rpm, потім людина підтягує гантелі до відстані 0,3 m від осі. Вважайте гантелі точковими масами. Знайдіть нову частоту n₂ в rpm.

I₀ = 2,5 kg·m²m = 2 × 4 kgr₁ = 0,9 mr₂ = 0,3 mn₁ = 55 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 80 мм при 1450 об/хв. Натяг становить 1500 Н на ведучій гілці та 600 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 600 N

P = kW

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (16 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (20 зуб.). Колесо C (25 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (36 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1500 rpmA = 16B = 20C = 25D = 36

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,2 kg на пружині з k = 180 N/m відтягують на 13 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 0,25 s (зі знаком).

m = 1,2 kgk = 180 N/mA = 13 cmt = 0,25 s

v = m/s

18.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 3 s і амплітудою 15 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 15 cm до зміщення 6 cm?

T = 3 sA = 15 cmx = 6 cm

t = s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 150 kg на пружині жорсткістю 100 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 150 kgk = 100 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 50 kN/m і k₂ = 15 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 46,3 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·3) = 46,3 m

Відповідь

s = 46,3 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 18,11 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1·5 = 5 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 5/4,5 = 1,111 s

Загальний час

t = 5 + 12 + 1,111 = 18,11 s

Відповідь

t = 18,11 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,355 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0) = 3,355 m/s²

Відповідь

a = 3,355 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 27,63 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж нитки

m₂·g = 39,24 N

m₁·g·sin θ = 18,92 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Прискорення системи

a = (39,24 − 18,92 − 0)/7 = 2,903 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 4·(9,81 − 2,903) = 27,63 N

Відповідь

T = 27,63 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 33,59 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·115/sin 90°) = 33,59 m/s

Відповідь

v₀ = 33,59 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 11,09 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 17·sin 40° = 10,93 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 10,93²/(2·9,81) = 6,086 m

Висота над землею

H = 5 + 6,086 = 11,09 m

Відповідь

H = 11,09 m

7.Рух по колу

Відповідь: θ = 15,69 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Одиниці

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Кут нахилу полотна

tan θ = v²/(r·g) = 27,78²/(280·9,81) = 0,2809

θ = 15,69°

Відповідь

θ = 15,69°

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 51,1 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 11² − 4·9,81·0,8 = 89,61 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,5·89,61/0,8 − 0,5·9,81 = 51,1 N

Відповідь

T_top = 51,1 N

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,2039 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 2 cm = 0,02 m

½kx² = ½·500·0,02² = 0,1 J

Висота

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0,1/0,4905 = 0,2039 m

Відповідь

h = 0,2039 m

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 33,15 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(4 − 0,1·5) = 137,3 J

Найбільше стиснення

½kx² = 137,3 → x = √(2·137,3/2500) = 0,3315 m = 33,15 cm

Відповідь

x = 33,15 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 15188 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·9/2000 = 6,75 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1500·9² = 60750 J

K_after = ½·2000·6,75² = 45563 J

Втрачена енергія

ΔK = 60750 − 45563 = 15188 J

Відповідь

ΔK = 15188 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 15,94 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·8) = 9,704 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2300·9,704/1400 = 15,94 m/s

Відповідь

v₁ = 15,94 m/s

(57,39 km/h)

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: a_tip = 14,71 m/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Моменти відносно шарніра

У момент відпускання ω = 0, тож доцентрового прискорення немає, і центр прискорюється строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·3) = 4,905 rad/s²

Прискорення вільного кінця

a_tip = α·L = 4,905·3 = 14,71 m/s²

Відповідь

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g для будь-якої довжини: вільний кінець падає швидше за кинутий камінь.

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: n₂ = 153,4 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Моменти інерції

I₁ = 2,5 + 2·4·0,9² = 8,98 kg·m²

I₂ = 2,5 + 2·4·0,3² = 3,22 kg·m²

Збереження моменту імпульсу

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 55·8,98/3,22 = 153,4 rpm

Відповідь

n₂ = 153,4 rpm

Кінетична енергія зростає: додаткова енергія береться з роботи, яку виконує людина, підтягуючи гантелі.

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 5,466 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 6,074 m/s

Потужність

P = (1500 − 600)·6,074 = 5466 W = 5,466 kW

Відповідь

P = 5,466 kW

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 833,3 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1500·16/20 = 1200 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1200·25/36 = 833,3 rpm

Відповідь

n_out = 833,3 rpm

загальне передаточне відношення = 1,8 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: v = −0,1268 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(180/1,2) = 12,25 rad/s

ω·t = 12,25·0,25 = 3,062 rad

Швидкість

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,13·12,25·sin(3,062) = −0,1268 m/s

Відповідь

v = −0,1268 m/s

18.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,5535 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/3 = 2,094 rad/s

Виразіть час

0,4 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,4) = 1,159 rad

t = 1,159/2,094 = 0,5535 s

Відповідь

t = 0,5535 s

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 3,849 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(100000/150) = 25,82 rad/s

f_n = 25,82/(2π) = 4,109 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,109·√(1 − 0,35²) = 3,849 Hz

Відповідь

f_d = 3,849 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 65 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 15 = 65 kN/m

Відповідь

k_eq = 65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics