Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 72 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 72 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 7 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 7 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 30 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 30° над горизонталлю із силою 180 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 30 kgF = 180 Nθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 7 kgm₂ = 5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 70° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 40 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з вершини скелі висотою 30 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 25 m/sθ = 25°h = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 25 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 25 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,2 kg на легкій нитці завдовжки 1,1 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 9 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,2 kgr = 1,1 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 0,5 kg ковзає 4 m похилою площиною під кутом 35° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 0,5 kgθ = 35°μ = 0,1d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,2). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 5 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 3 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 5 kgμ = 0,2d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2 kg, що рухається зі швидкістю 8 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 2 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,3 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 40° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 3 kgL = 1,3 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Двигун розганяє маховик із моментом інерції 12,5 kg·m² зі стану спокою до 900 rpm за 11 s. Нехтуючи втратами, знайдіть середню потужність P_avg, яку він віддає, у kW.

I = 12,5 kg·m²n = 900 rpmt = 11 s

P_avg = kW

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільний циліндр котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 15° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a його центра.

θ = 15°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,1 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 18, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 24. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 1,1 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 18N₂ = 24η = 96%

T₁ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (18 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 2880 rpm і приводить колесо B (24 зубців). Колесо C (12 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 1620 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 2880 rpmA = 18B = 24C = 12n_out = 1620 rpm

N_D =

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2,4 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,8 kg на пружині з k = 420 N/m відтягують на 3 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,8 kgk = 420 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

19.Механічні коливанняСередня

Маса 40 kg на пружині жорсткістю 80 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,5. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 40 kgk = 80 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 40 kN/m і k₂ = 100 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 28,57 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·7) = 28,57 m

Відповідь

s = 28,57 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 22,5 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9,81) = 2,497 m

Висота над землею

h_max = 20 + 2,497 = 22,5 m

Відповідь

h_max = 22,5 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,515 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 180·sin 30° = 204,3 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 155,9 − 20,43

a = 135,5/30 = 4,515 m/s²

Відповідь

a = 4,515 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,515 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 6,867)/12 = 3,515 m/s²

Відповідь

a = 3,515 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 104,8 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 70° = 13,68 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 70° = 37,59 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·37,59/9,81 = 7,663 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 13,68·7,663 = 104,8 m

Відповідь

x = 104,8 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,774 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 25° = 22,66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 25° = 10,57 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 30 + 10,57·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,57 + √(111,6 + 588,6))/9,81 = 3,774 s

Відповідь

t = 3,774 s

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 9,905 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·25) = 9,905 m/s

Відповідь

v_max = 9,905 m/s (35,66 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 29,5 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·1,1 = 37,84 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,2·37,84/1,1 − 1,2·9,81 = 29,5 N

Відповідь

T_top = 29,5 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 1,607 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 4,905·0,8192 = 4,018 N

F = μN = 0,1·4,018 = 0,4018 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 0,4018·4 = 1,607 J

Відповідь

W_f = 1,607 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 3,431 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 49,05·3 = 147,2 J

μ·m₁g·d = 0,2·98,1·3 = 58,86 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 88,29 → v = √(2·88,29/15) = 3,431 m/s

Відповідь

v = 3,431 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 9,143 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2 − 1,5)/(2 + 1,5)·8 = 1,143 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1,5)·8 = 9,143 m/s

Відповідь

v′₂ = 9,143 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 613,1 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,3·(1 − cos 40°) = 0,3041 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,3041) = 2,443 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 3,012·2,443/0,012 = 613,1 m/s

Відповідь

v = 613,1 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: P_avg = 5,047 kW

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

Енергія

E = ½·I·ω² = ½·12,5·94,25² = 55517 J

Середня потужність

P_avg = E/t = 55517/11 = 5047 W = 5,047 kW

Відповідь

P_avg = 5,047 kW

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: a = 1,693 m/s²

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/1,5 = 1,693 m/s²

Відповідь

a = 1,693 m/s²

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 10,94 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/100,5 = 10,94 N·m

Відповідь

T₁ = 10,94 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 16

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 2880·18/24 = 2160 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 12·2160/1620 = 16

Відповідь

N_D = 16

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,108 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,4/9,81) = 3,108 s

Відповідь

T = 3,108 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 4,5 m/s²

Кутова частота

ω = √(420/2,8) = 12,25 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,03·12,25² = 4,5 m/s²

Відповідь

a_max = 4,5 m/s²

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 6,164 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(80000/40) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,5²) = 6,164 Hz

Відповідь

f_d = 6,164 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 26,63 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 100 = 140 kN/m

Власна частота

ω_n = √(140000/5) = 167,3 rad/s

f_n = 167,3/(2π) = 26,63 Hz

Відповідь

f_n = 26,63 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics