Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 54 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 12 m/s з краю даху на висоті 35 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 8 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 8 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 45° над горизонталлю, і він падає на відстані 55 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 45°R = 55 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 21 m/s під кутом 65° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 5 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 21 m/sθ = 65°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 3 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 3 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Невеликий візок відпускають без початкової швидкості на трасі без тертя, і він в’їжджає у вертикальну петлю радіусом 6,5 m. З якої мінімальної висоти h_min над нижньою точкою петлі він має стартувати, щоб утриматися на трасі у верхній точці петлі?

R = 6,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 10 kg ковзає 18 m похилою площиною під кутом 35° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,3. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 10 kgθ = 35°μ = 0,3d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 5000 N/m біля підніжжя схилу 20° стискають на 15 cm бруском масою 0,5 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,15. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 0,5 kgk = 5000 N/mx = 15 cmθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3 kg, що рухається зі швидкістю 12 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 4,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,1 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 15° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 4,5 kgL = 1,1 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 10,5 kg·m² обертається з частотою 2900 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 15 N·m. Скільки обертів N зробить маховик до зупинки?

I = 10,5 kg·m²n = 2900 rpmT_b = 15 N·m

N = rev

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля масою 5,5 kg котиться без проковзування зі швидкістю 4,5 m/s. Знайдіть його повну кінетичну енергію E_k.

m = 5,5 kgv = 4,5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_k = J

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 3 kW із частотою 1440 rpm приводить черв’як із кількістю заходів 4. Черв’ячне колесо має 60 зубців, ККД передачі 60 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_w на валу колеса.

z = 4N_w = 60n = 1440 rpmP = 3 kWη = 60%

T_w = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (40 зуб.). Колесо C (25 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (45 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1500 rpmA = 12B = 40C = 25D = 45

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,8 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 4 kg на пружині з k = 450 N/m відтягують на 3 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 4 kgk = 450 N/mA = 3 cm

v_max = m/s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 100 kg на пружині жорсткістю 150 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,7. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 100 kgk = 150 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 20 kN/m і k₂ = 80 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 3,75 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/4 = 3,75 s

Відповідь

t = 3,75 s

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,161 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−35 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 35 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·35))/9,81 = 4,161 s

Відповідь

t = 4,161 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,512 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0,2·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,1879) = 1,512 m/s²

Відповідь

a = 1,512 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 17,88 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 8,584)/6 = 2,657 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3,5·2,657 + 8,584 = 17,88 N

Відповідь

T = 17,88 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 23,23 m/s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·55/sin 90°) = 23,23 m/s

Відповідь

v₀ = 23,23 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 31,92 m

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 8,875 m/s, v_y = 19,03 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

5 = 19,03·t − 4,905·t²

t = (19,03 + √(19,03² − 2·9,81·5))/9,81 = 3,597 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 8,875·3,597 = 31,92 m

Відповідь

x = 31,92 m

7.Рух по колу

Відповідь: n = 27,3 rpm

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·3)) = 2,859 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 27,3 rpm

Відповідь

n = 27,3 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: h_min = 16,25 m

Умова у верхній точці

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон збереження енергії

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·6,5 = 16,25 m

Відповідь

h_min = 16,25 m

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 433,9 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 98,1·0,8192 = 80,36 N

F = μN = 0,3·80,36 = 24,11 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 24,11·18 = 433,9 J

Відповідь

W_f = 433,9 J

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 23,74 m

Енергія пружини

x = 15 cm = 0,15 m

½kx² = ½·5000·0,15² = 56,25 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 56,25/(4,905·(0,342 + 0,15·0,9397)) = 23,74 m

Відповідь

d = 23,74 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 18 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3 − 1)/(3 + 1)·12 = 6 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 1)·12 = 18 m/s

Відповідь

v′₂ = 18 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 483,2 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,1·(1 − cos 15°) = 0,03748 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,03748) = 0,8575 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 4,508·0,8575/0,008 = 483,2 m/s

Відповідь

v = 483,2 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: N = 5137 rev

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

Робота гальма дорівнює кінетичній енергії

½·I·ω² = ½·10,5·303,7² = 484186 J

θ = 484186/15 = 32279 rad

Оберти

N = θ/2π = 5137 rev

Відповідь

N = 5137 rev

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: E_k = 77,96 J

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Поступальна частина й частина обертання

E_trans = ½·m·v² = ½·5,5·4,5² = 55,69 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·55,69 = 22,28 J

Разом

E_k = 55,69 + 22,28 = 77,96 J

Відповідь

E_k = 77,96 J

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_w = 179 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 1440·4/60 = 96 rpm

Вихідний крутний момент

ω_w = 2π·96/60 = 10,05 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,6·3000/10,05 = 179 N·m

Відповідь

T_w = 179 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 250 rpm

Перший ступінь

n_B = 1500·12/40 = 450 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 450·25/45 = 250 rpm

Відповідь

n_out = 250 rpm

загальне передаточне відношення = 6 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,8051 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,8/2π)² = 0,8051 m

Відповідь

L = 0,8051 m

18.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,3182 m/s

Кутова частота

ω = √(450/4) = 10,61 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,03·10,61 = 0,3182 m/s

Відповідь

v_max = 0,3182 m/s

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 4,402 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(150000/100) = 38,73 rad/s

f_n = 38,73/(2π) = 6,164 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,164·√(1 − 0,7²) = 4,402 Hz

Відповідь

f_d = 4,402 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 5,033 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 80 = 100 kN/m

Власна частота

ω_n = √(100000/100) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Відповідь

f_n = 5,033 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics