Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 50 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 50 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 20 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 16 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?

H = 20 mv_0B = 16 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 4 m/s і зупиняється, пройшовши 5,4 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 4 m/sd = 5,4 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 9 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 9 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 12 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 28 m/s під кутом 15° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 35 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 28 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 220 m має нахил полотна 8°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 220 mθ = 8°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,5 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 10 kg ковзає 18 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,2. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 10 kgθ = 45°μ = 0,2d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 10 kgh = 1,5 mL = 5 mμ = 0,15k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 9 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1100 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1100 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 18,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1100 kgm₂ = 1100 kgd = 18,5 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 7,5 kg і довжиною 1,2 m закріплено шарнірно за один кінець і відпускають зі стану спокою з горизонтального положення. До його вільного кінця прикріплено маленьку кульку масою 0,5 kg. Нехтуйте тертям і візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v вільного кінця, коли стрижень проходить вертикальне положення.

m = 7,5 kgL = 1,2 mm_ball = 0,5 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Обертання твердого тілаСкладна

Однорідний тонкий стрижень масою 2,5 kg і довжиною 0,7 m висить у спокої на шарнірі без тертя на верхньому кінці. Куля масою 45 g, що летить горизонтально зі швидкістю 340 m/s, влучає в стрижень на 0,63 m нижче за шарнір і застрягає в ньому. Знайдіть кутову швидкість ω стрижня одразу після удару.

M = 2,5 kgL = 0,7 mm = 45 gv = 340 m/sd = 0,63 m

ω = rad/s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 120 мм при 720 об/хв приводить шків 400 мм пасом із прослизанням 1,5 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 720 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 400 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (40 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (72 зуб.). Колесо C (48 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (72 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1440 rpmA = 40B = 72C = 48D = 72

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2,9 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 240 N/m відтягують на 18 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 1,1 kgk = 240 N/mA = 18 cm

v_max = m/s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 500 kg на пружині жорсткістю 150 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,3. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 500 kgk = 150 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 40 kN/m, нижня — k₂ = 80 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 19,29 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·5) = 19,29 m

Відповідь

s = 19,29 m

2.Кінематика

Відповідь: y = 12,34 m

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

20 − ½g·t² = 16·t − ½g·t² → t = 20/16 = 1,25 s

Висота зустрічі

y = 16·1,25 − ½·9,81·1,25² = 12,34 m

Відповідь

y = 12,34 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,151

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 4²/(2·5,4) = 1,481 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,481/9,81 = 0,151

Відповідь

μ = 0,151

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 22,07 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 0)/12 = 2,453 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·2,453 + 0 = 22,07 N

Відповідь

T = 22,07 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 1,573 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 40° = 9,193 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 40° = 7,713 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·7,713/9,81 = 1,573 s

Відповідь

t = 1,573 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 45,15 °

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 28·cos 15° = 27,05 m/s

v_y0 = 28·sin 15° = 7,247 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(7,247² + 2·9,81·35) = 27,19 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 27,19/27,05 → α = 45,15°

Відповідь

α = 45,15°

7.Рух по колу

Відповідь: v = 17,42 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(220·9,81·tan 8°) = 17,42 m/s

Відповідь

v = 17,42 m/s

(62,7 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,215 m/s

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,5) = 2,215 m/s

Відповідь

v_min = 2,215 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 249,7 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 98,1·0,7071 = 69,37 N

F = μN = 0,2·69,37 = 13,87 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 13,87·18 = 249,7 J

Відповідь

W_f = 249,7 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 3,836 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 98,1·(1,5 − 0,15·5) = 73,58 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,75) = 3,836 m/s

Відповідь

v = 3,836 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −3 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2,5 − 5)/(2,5 + 5)·9 = −3 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 5)·9 = 6 m/s

Відповідь

v′₁ = −3 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 31,88 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·18,5) = 15,94 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·15,94/1100 = 31,88 m/s

Відповідь

v₁ = 31,88 m/s

(114,8 km/h)

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: v = 5,775 m/s

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Втрата потенціальної енергії

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 7,5·9,81·0,6 + 0,5·9,81·1,2 = 50,03 J

Момент інерції відносно шарніра

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 3,6 + 0,72 = 4,32 kg·m²

Енергетичний баланс

½·I_O·ω² = 50,03 → ω = √(2·50,03/4,32) = 4,813 rad/s

v = ω·L = 4,813·1,2 = 5,775 m/s

Відповідь

v = 5,775 m/s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: ω = 22,62 rad/s

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Момент інерції після удару

I = M·L²/3 + m·d² = 2,5·0,7²/3 + 0,045·0,63² = 0,4262 kg·m²

Момент імпульсу відносно шарніра

Сила в шарнірі проходить через шарнір, тож під час удару не має там моменту.

m·v·d = I·ω → ω = 0,045·340·0,63/0,4262 = 22,62 rad/s

Відповідь

ω = 22,62 rad/s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 212,8 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

720·120/400 = 216 rpm

З прослизанням

n₂ = 216·0,985 = 212,8 rpm

Відповідь

n₂ = 212,8 rpm

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 533,3 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1440·40/72 = 800 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 800·48/72 = 533,3 rpm

Відповідь

n_out = 533,3 rpm

загальне передаточне відношення = 2,7 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,416 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,9/9,81) = 3,416 s

Відповідь

T = 3,416 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 2,659 m/s

Кутова частота

ω = √(240/1,1) = 14,77 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,18·14,77 = 2,659 m/s

Відповідь

v_max = 2,659 m/s

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 2,63 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(150000/500) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,757·√(1 − 0,3²) = 2,63 Hz

Відповідь

f_d = 2,63 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 8,219 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/80 → k_eq = 40·80/(40 + 80) = 26,67 kN/m

Власна частота

ω_n = √(26667/10) = 51,64 rad/s

f_n = 51,64/(2π) = 8,219 Hz

Відповідь

f_n = 8,219 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics