Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Автомобіль, що їде зі швидкістю 90 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.
М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 14 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.
Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 2,5 m/s і зупиняється, пройшовши 6,4 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.
Брусок масою 8 kg на похилій площині з кутом 20° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 7,5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.
М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 30 m/s, і він має впасти на відстані 55 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.
М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з вершини скелі висотою 5 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.
В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 3,6 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу кутову швидкість ω у rad/s.
Поворот радіусом 90 m має нахил полотна 15°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу швидкість vmin, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вниз по нахилу.
Автомобіль, що рухається зі швидкістю 110 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,4. Знайдіть гальмівний шлях d.
Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.
Автомобіль масою 1900 kg, що рухається зі швидкістю 9 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1000 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?
На перехресті автомобіль масою 1700 kg, що їде на схід зі швидкістю 17 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1600 kg, що їде на північ зі швидкістю 17 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.
Двигун віддає момент 970 N·m за частоти 1400 rpm. Знайдіть його вихідну потужність P у kW.
суцільна куля масою 15,5 kg котиться без проковзування зі швидкістю 6,5 m/s. Знайдіть його повну кінетичну енергію Ek.
Двигун потужністю 2,2 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з 20 зубцями й модулем 2,5 mm. Знайдіть колову силу Ft на зубцях шестірні.
Відкритий пас з’єднує шків 120 мм і шків 300 мм, центри яких розташовані на відстані 1200 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.
Вантаж масою 1,9 kg на пружині з k = 40 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 13 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 8 cm від положення рівноваги.
Вантаж масою 0,3 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 90 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільше видовження xmax пружини в cm.
Маса 40 kg на пружині жорсткістю 10 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,6. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань fd у Hz.
Маса 40 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 20 kN/m і k₂ = 40 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.
Відповідь: s = 44,64 m
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Відповідь: t = 3,9 s
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.
Фізичний зміст має лише додатний корінь.
Відповідь: μ = 0,04977
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Відповідь: T = 58,1 N
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Відповідь: θ = 18,42 °
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Інший розв’язок 90° − θ = 71,58°.
Відповідь: x = 70,53 m
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
Відповідь: ω = 1,846 rad/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: vmin = 10,01 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Тертя спрямоване вгору схилом.
Відповідь: d = 119 m
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.
Відповідь: v = 6,933 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.
Відповідь: ΔK/K = 34,48 %
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.
Відповідь: θ = 43,26 °
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Відповідь: P = 142,2 kW
Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.
Відповідь: Ek = 458,4 J
Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.
Відповідь: Ft = 289,8 N
Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: Ft = 2T/d.
Відповідь: θ = 171,4 °
Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.
Відповідь: v = 0,4702 m/s
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: xmax = 6,54 cm
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: fd = 2,013 Hz
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Відповідь: keq = 60 kN/m
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics