Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 1,5 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1600 m.

v₀ = 0a = 1,5 m/s²s = 1600 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 18 m/s з краю даху на висоті 5 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 18 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 8 m/s і зупиняється, пройшовши 16 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 8 m/sd = 16 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 6 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 6 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 45° над горизонталлю, і він падає на відстані 100 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 45°R = 100 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 25 m/sθ = 15°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Інженер-дорожник хоче, щоб автомобілі проходили поворот радіусом 130 m зі швидкістю 40 km/h без опори на тертя. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кут нахилу полотна θ.

r = 130 mv = 40 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 290 m має нахил полотна 30°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 290 mθ = 30°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 800 N/m. На неї кладуть кульку 0,15 kg, стискають пружину на 3 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,15 kgk = 800 N/mx = 3 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0,1k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 800 kg, що їде на схід зі швидкістю 14 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1200 kg, що їде на північ зі швидкістю 25 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 800 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 25 m/s (N)

θ = °

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 9 kg і довжиною 1,3 m закріплено шарнірно за один кінець і утримують горизонтально. Його відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його кутове прискорення α одразу після відпускання.

m = 9 kgL = 1,3 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 25° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменший коефіцієнт тертя спокою μ_s, який не допускає проковзування.

θ = 25°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 60 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 2 mm і передаточним відношенням 3 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₂ має мати колесо?

a = 60 mmm = 2 mmi = 3

N₂ =

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 11 kW із частотою 2900 rpm приводить колесо A (24 зубців), зчеплене з колесом B (72 зубців). Колесо C (24 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (80 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 98 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 11 kWn_in = 2900 rpmA = 24B = 72C = 24D = 80η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 2,3 kg на пружині з k = 450 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 12 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 11 cm від положення рівноваги.

m = 2,3 kgk = 450 N/mA = 12 cmx = 11 cm

v = m/s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 260 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільше видовження x_max пружини в cm.

m = 1 kgk = 260 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

19.Механічні коливанняСередня

Маса 25 kg на пружині жорсткістю 15 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,5. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 25 kgk = 15 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на пружині k₃ = 100 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 5 kN/m і k₂ = 100 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 69,28 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·1,5·1600) = 69,28 m/s

Відповідь

v = 69,28 m/s

(249,4 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 21,51 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9,81) = 16,51 m

Висота над землею

h_max = 5 + 16,51 = 21,51 m

Відповідь

h_max = 21,51 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,2039

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 8²/(2·16) = 2 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2/9,81 = 0,2039

Відповідь

μ = 0,2039

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,995 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 5,886)/9,5 = 2,995 m/s²

Відповідь

a = 2,995 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 31,32 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·100/sin 90°) = 31,32 m/s

Відповідь

v₀ = 31,32 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 98,34 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 15° = 24,15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 15° = 6,47 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 55 + 6,47·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,47 + √(41,87 + 1079))/9,81 = 4,073 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 24,15·4,073 = 98,34 m

Відповідь

x = 98,34 m

7.Рух по колу

Відповідь: θ = 5,529 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Одиниці

v = 40/3,6 = 11,11 m/s

Кут нахилу полотна

tan θ = v²/(r·g) = 11,11²/(130·9,81) = 0,09681

θ = 5,529°

Відповідь

θ = 5,529°

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 54,94 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(290·9,81·0,7598/0,716) = 54,94 m/s

Відповідь

v_max = 54,94 m/s

(197,8 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,2446 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 3 cm = 0,03 m

½kx² = ½·800·0,03² = 0,36 J

Висота

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 0,36/1,472 = 0,2446 m

Відповідь

h = 0,2446 m

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 12,21 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 19,62·(2 − 0,1·1) = 37,28 J

Найбільше стиснення

½kx² = 37,28 → x = √(2·37,28/5000) = 0,1221 m = 12,21 cm

Відповідь

x = 12,21 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 2 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2 − 4)/(2 + 4)·3 = −1 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4)·3 = 2 m/s

Відповідь

v′₂ = 2 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 69,53 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Складові імпульсу

p_x = 800·14 = 11200 kg·m/s

p_y = 1200·25 = 30000 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 2,679 → θ = 69,53°

Відповідь

θ = 69,53°

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: α = 11,32 rad/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Моменти відносно шарніра

У момент відпускання ω = 0, тож доцентрового прискорення немає, і центр прискорюється строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,3) = 11,32 rad/s²

Відповідь

α = 11,32 rad/s²

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: μ_s = 0,1332

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 25°/1,4 = 2,961 m/s²

Потрібне тертя

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,4·tan 25°/1,4 = 0,1332

Відповідь

μ_s = 0,1332

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₂ = 45

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·60/2 = 60

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 60/(1 + 3) = 15

N₂ = 3·15 = 45

Відповідь

N₂ = 45

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 347,9 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 2900·(24/72)·(24/80) = 290 rpm

ω_out = 2π·290/60 = 30,37 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 11000·0,98² = 10564 W

T_out = P_out/ω_out = 10564/30,37 = 347,9 N·m

Відповідь

T_out = 347,9 N·m

17.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,6708 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(450/2,3) = 13,99 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 13,99·√(0,12² − 0,11²) = 0,6708 m/s

Відповідь

v = 0,6708 m/s

18.Пружини й маятники

Відповідь: x_max = 7,546 cm

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 1·9,81/260 = 0,03773 m = A

Найнижча точка

x_max = 2A = 0,07546 m = 7,546 cm

Відповідь

x_max = 7,546 cm

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 3,376 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(15000/25) = 24,49 rad/s

f_n = 24,49/(2π) = 3,898 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,898·√(1 − 0,5²) = 3,376 Hz

Відповідь

f_d = 3,376 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,602 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 5 + 100 = 105 kN/m

k_eq = 105·100/(105 + 100) = 51,22 kN/m

Власна частота

ω_n = √(51220/100) = 22,63 rad/s

f_n = 22,63/(2π) = 3,602 Hz

Відповідь

f_n = 3,602 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics