Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 280 km/h, а довжина злітної смуги 2100 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 2100 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 1,5 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 1,5 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 35 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 30° над горизонталлю із силою 160 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 35 kgF = 160 Nθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 4 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 4 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 32 m/s, і він має впасти на відстані 50 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 32 m/sR = 50 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 40 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 11 m/sθ = 55°h = 40 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 310 m має нахил полотна 15°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 310 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,5 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 120 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 120 km/hμ = 0,6g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 15° і його тягнуть угору сталою силою 10 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 9 m угору схилом.

m = 2 kgF = 10 Nθ = 15°μ = 0,15d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 16 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 1 kgh = 16 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 1500 kg, що їде на схід зі швидкістю 17 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 900 kg, що їде на північ зі швидкістю 20 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 1500 kgv₁ = 17 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 20 m/s (N)

θ = °

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 14,5 kg і довжиною 1,1 m закріплено шарнірно за один кінець і утримують горизонтально. Його відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a_tip вільного кінця одразу після відпускання.

m = 14,5 kgL = 1,1 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільний циліндр котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 15° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменший коефіцієнт тертя спокою μ_s, який не допускає проковзування.

θ = 15°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 2,2 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 24, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 50. Втратами знехтуйте. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 2,2 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 24N₂ = 50η = 100%

T₁ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (15 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 2900 rpm і приводить колесо B (24 зуб.). Колесо C (45 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (60 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 2900 rpmA = 15B = 24C = 45D = 60

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,4 m має період 5,84 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,4 mT = 5,84 s

g = m/s²

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3 kg на пружині з k = 130 N/m відтягують на 9 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 3 kgk = 130 N/mA = 9 cm

a_max = m/s²

19.Механічні коливанняСередня

Маса 2 kg спирається на пружину жорсткістю 25 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 90 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 2 kgk = 25 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 100 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 60 kN/m і k₂ = 25 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 1,44 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·2100) = 1,44 m/s²

Відповідь

a = 1,44 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: d = 10,59 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(1,5 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 514,5 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·514,5))/(2·4,905) = 1,469 s

Глибина

d = ½·9,81·1,469² = 10,59 m

Відповідь

d = 10,59 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,207 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 160·sin 30° = 263,4 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 138,6 − 26,34

a = 112,2/35 = 3,207 m/s²

Відповідь

a = 3,207 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 29,53 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 11,77)/9,5 = 4,44 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·4,44 + 11,77 = 29,53 N

Відповідь

T = 29,53 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 14,31 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·50/32² = 0,479

Кут

2θ = 28,62° → θ = 14,31°

Відповідь

θ = 14,31°

Інший розв’язок 90° − θ = 75,69°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 24,72 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 55° = 6,309 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 55° = 9,011 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 40 + 9,011·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,011 + √(81,19 + 784,8))/9,81 = 3,918 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 6,309·3,918 = 24,72 m

Відповідь

x = 24,72 m

7.Рух по колу

Відповідь: v = 28,55 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(310·9,81·tan 15°) = 28,55 m/s

Відповідь

v = 28,55 m/s

(102,8 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,215 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,5) = 2,215 m/s

Відповідь

v_min = 2,215 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 94,39 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 120/3,6 = 33,33 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33,33²/(2·0,6·9,81) = 94,39 m

Відповідь

d = 94,39 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,326 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 5,078 N

μ·mg·cos θ = 2,843 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (10 − 7,921)·9 = 18,71 J

v = √(2·18,71/2) = 4,326 m/s

Відповідь

v = 4,326 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 223,2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,16) = 1,772 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 1)·1,772/0,008 = 223,2 m/s

Відповідь

v = 223,2 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 35,22 °

Складові імпульсу

p_x = 1500·17 = 25500 kg·m/s

p_y = 900·20 = 18000 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 0,7059 → θ = 35,22°

Відповідь

θ = 35,22°

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: a_tip = 14,71 m/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Моменти відносно шарніра

У момент відпускання ω = 0, тож доцентрового прискорення немає, і центр прискорюється строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,1) = 13,38 rad/s²

Прискорення вільного кінця

a_tip = α·L = 13,38·1,1 = 14,71 m/s²

Відповідь

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g для будь-якої довжини: вільний кінець падає швидше за кинутий камінь.

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: μ_s = 0,08932

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/1,5 = 1,693 m/s²

Потрібне тертя

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,5·tan 15°/1,5 = 0,08932

Відповідь

μ_s = 0,08932

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 14,59 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/150,8 = 14,59 N·m

Відповідь

T₁ = 14,59 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 1359 rpm

Перший ступінь

n_B = 2900·15/24 = 1813 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1813·45/60 = 1359 rpm

Відповідь

n_out = 1359 rpm

загальне передаточне відношення = 2,133 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: g = 1,621 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,4/5,84² = 1,621 m/s²

Відповідь

g = 1,621 m/s²

18.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 3,9 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(130/3) = 6,583 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,09·6,583² = 3,9 m/s²

Відповідь

a_max = 3,9 m/s²

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,2012

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·2) = 447,2 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 90/447,2 = 0,2012

Відповідь

ζ = 0,2012

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 15,26 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 60 + 25 = 85 kN/m

k_eq = 85·100/(85 + 100) = 45,95 kN/m

Власна частота

ω_n = √(45946/5) = 95,86 rad/s

f_n = 95,86/(2π) = 15,26 Hz

Відповідь

f_n = 15,26 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics