Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 36 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 36 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 6 m/s з краю даху на висоті 5 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 6 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 10 kg і 7,5 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 10 kgm₂ = 7,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 1,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 65° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 20 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з вершини скелі висотою 35 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 29 m/sθ = 40°h = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 3,2 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 3,2 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,9 kg на нитці завдовжки 1,1 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 6,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,9 kgr = 1,1 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 0,5 kg висить на легкій нитці завдовжки 0,8 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 90° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 0,5 kgL = 0,8 mθ = 90°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4,5 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 4000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 0,5 kgh = 4,5 mL = 4,5 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 0,5 kg, що рухається зі швидкістю 4 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,35 kg ударяється об стіну зі швидкістю 12 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 11 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,35 kgv_in = 12 m/sv_out = 11 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Обертання твердого тілаСередня

Вантаж 13 kg висить на легкому шнурі, намотаному на шків — однорідний суцільний диск масою 10,5 kg і радіусом 0,45 m, що обертається на горизонтальній осі без тертя. Вантаж відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кутове прискорення α шківа.

m = 13 kgM = 10,5 kgR = 0,45 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Обертання твердого тілаСкладна

тонкий обруч масою 5,5 kg котиться без проковзування зі швидкістю 4 m/s. Знайдіть його повну кінетичну енергію E_k.

m = 5,5 kgv = 4 m/sI = m·r²

E_k = J

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 3 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з 24 зубцями й модулем 2,5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 3 kWn = 1450 rpmN₁ = 24m = 2,5 mm

F_t = N

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 80 мм при 720 об/хв зі шківом 300 мм; центри розташовані на відстані 1200 мм. Коефіцієнт тертя 0,3, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 1200 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 300 mmC = 1200 mmμ = 0,3T₁ = 1200 N

P = kW

17.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,1 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,1 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,8 kg на пружині з k = 170 N/m відтягують на 15 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 0,8 kgk = 170 N/mA = 15 cm

v_max = m/s

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 25 mm через 4 циклів іде пік 0,6 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 25 mmx₄ = 0,6 mmn = 4

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 20 kN/m, нижня — k₂ = 100 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 10 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·5) = 10 m

Відповідь

s = 10 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 6,835 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

Висота над землею

h_max = 5 + 1,835 = 6,835 m

Відповідь

h_max = 6,835 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: T = 84,09 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (10 − 7,5)·9,81/(10 + 7,5) = 1,401 m/s²

Сила натягу з рівняння для легшого вантажу

T − m₂·g = m₂·a → T = 7,5·(9,81 + 1,401) = 84,09 N

Відповідь

T = 84,09 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 7,135 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 0)/5,5 = 7,135 m/s²

Відповідь

a = 7,135 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 31,24 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 65° = 8,452 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 65° = 18,13 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·18,13/9,81 = 3,695 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 8,452·3,695 = 31,24 m

Відповідь

x = 31,24 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 5,178 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 40° = 22,22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 40° = 18,64 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 35 + 18,64·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18,64 + √(347,5 + 686,7))/9,81 = 5,178 s

Відповідь

t = 5,178 s

7.Рух по колу

Відповідь: n = 30,53 rpm

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,3·3,2)) = 3,197 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 30,53 rpm

Відповідь

n = 30,53 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: T = 43,4 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,9·9,81 + 0,9·6,5²/1,1 = 8,829 + 34,57 = 43,4 N

Відповідь

T = 43,4 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 14,71 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 90°) = 15,7 m²/s²

Сили внизу

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·15,7/0,8 = 14,71 N

Відповідь

T = 14,71 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 14,71 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 7,861 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(4,5 − 0,3·4,5) = 15,45 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,15) = 7,861 m/s

Відповідь

v = 7,861 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 1 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (0,5 − 3,5)/(0,5 + 3,5)·4 = −3 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 3,5)·4 = 1 m/s

Відповідь

v′₂ = 1 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 402,5 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,35·(11 + 12) = 8,05 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 8,05/0,02 = 402,5 N

Відповідь

F_avg = 402,5 N

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: α = 15,53 rad/s²

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Вантаж і шків

брусок: m·g − T = m·a

шків: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Прискорення

a = m·g/(m + M/2) = 13·9,81/(13 + 5,25) = 6,988 m/s²

Кутове прискорення

α = a/R = 6,988/0,45 = 15,53 rad/s²

Відповідь

α = 15,53 rad/s²

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: E_k = 88 J

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Поступальна частина й частина обертання

E_trans = ½·m·v² = ½·5,5·4² = 44 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·44 = 44 J

Разом

E_k = 44 + 44 = 88 J

Відповідь

E_k = 88 J

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 658,6 N

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 2,5·24 = 60 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·19,76/0,06 = 658,6 N

Відповідь

F_t = 658,6 N

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 2,129 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 2,958 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,8874 = 2,429, T₂ = 1200/2,429 = 494,1 N

Потужність

P = (1200 − 494,1)·3,016 = 2,129 kW

Відповідь

P = 2,129 kW

17.Пружини й маятники

Відповідь: L = 1,096 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,1/2π)² = 1,096 m

Відповідь

L = 1,096 m

18.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 2,187 m/s

Кутова частота

ω = √(170/0,8) = 14,58 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,15·14,58 = 2,187 m/s

Відповідь

v_max = 2,187 m/s

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1468

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/4)·ln(25/0,6) = 0,9324

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9324/√(39,48 + 0,8694) = 0,1468

Відповідь

ζ = 0,1468

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 16,67 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/100 → k_eq = 20·100/(20 + 100) = 16,67 kN/m

Відповідь

k_eq = 16,67 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics