Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 3,75 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1200 m.

v₀ = 0a = 3,75 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 16 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 45 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 35° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 45 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 7 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 25° над горизонталлю, і він падає на відстані 50 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 25°R = 50 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 16 m/s під кутом 35° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 5 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.

v₀ = 16 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 0,8 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 60° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 0,8 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,5 kg на легкій нитці завдовжки 0,5 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 11,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,5 kgr = 0,5 mv_bottom = 11,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 5 kg ковзає 6 m похилою площиною під кутом 35° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 5 kgθ = 35°μ = 0,1d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4,5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 5 kgh = 4 mL = 4,5 mμ = 0,1k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 8 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 30 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 3 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 39 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 5 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 8 kgu = 30 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 39 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,15 kg ударяється об стіну зі швидкістю 21 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 8 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,15 kgv_in = 21 m/sv_out = 8 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Обертання твердого тілаСередня

Двигун розганяє маховик із моментом інерції 31 kg·m² зі стану спокою до 1000 rpm за 57 s. Нехтуючи втратами, знайдіть середню потужність P_avg, яку він віддає, у kW.

I = 31 kg·m²n = 1000 rpmt = 57 s

P_avg = kW

14.Обертання твердого тілаСкладна

Однорідний тонкий стрижень масою 8 kg і довжиною 0,9 m висить у спокої на шарнірі без тертя на верхньому кінці. Куля масою 35 g, що летить горизонтально зі швидкістю 480 m/s, влучає в стрижень на 0,71 m нижче за шарнір і застрягає в ньому. Знайдіть кутову швидкість ω стрижня одразу після удару.

M = 8 kgL = 0,9 mm = 35 gv = 480 m/sd = 0,71 m

ω = rad/s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 4 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 12, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 45. ККД зубчастої пари — 98 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 4 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 12N₂ = 45η = 98%

T₂ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (30 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (32 зуб.). Колесо C (16 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (48 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1500 rpmA = 30B = 32C = 16D = 48

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1 kg на пружині з k = 160 N/m відтягують на 14 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 1,4 s (зі знаком).

m = 1 kgk = 160 N/mA = 14 cmt = 1,4 s

v = m/s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,5 kg на пружині з k = 250 N/m відтягують на 20 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 0,5 kgk = 250 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

19.Механічні коливанняСередня

Маса 100 kg спирається на пружину жорсткістю 15 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 610 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 100 kgk = 15 kN/mc = 610 N·s/m

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 5 kN/m і k₂ = 20 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 94,87 m/s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·3,75·1200) = 94,87 m/s

Відповідь

v = 94,87 m/s

(341,5 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,227 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−20 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 20 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,227 s

Відповідь

t = 4,227 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 325,5 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 253,2 + 72,32 = 325,5 N

Відповідь

F = 325,5 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,047 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 20,6)/11,5 = 2,047 m/s²

Відповідь

a = 2,047 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 25,3 m/s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·50/sin 50°) = 25,3 m/s

Відповідь

v₀ = 25,3 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v = 18,82 m/s

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 16·cos 35° = 13,11 m/s

v_y0 = 16·sin 35° = 9,177 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(9,177² + 2·9,81·5) = 13,5 m/s

Швидкість у момент удару

v = √(13,11² + 13,5²) = 18,82 m/s

Відповідь

v = 18,82 m/s

Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.

7.Рух по колу

Відповідь: T = 1,269 s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Радіус кола

r = L·sin θ = 0,8·sin 60° = 0,6928 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,6928·9,81·tan 60°) = 3,431 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,6928/3,431 = 1,269 s

Відповідь

T = 1,269 s

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 323,2 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 11,5² − 4·9,81·0,5 = 112,6 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,5·112,6/0,5 − 1,5·9,81 = 323,2 N

Відповідь

T_top = 323,2 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 24,11 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 49,05·0,8192 = 40,18 N

F = μN = 0,1·40,18 = 4,018 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 4,018·6 = 24,11 J

Відповідь

W_f = 24,11 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,346 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 49,05·(4 − 0,1·4,5) = 174,1 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,55) = 8,346 m/s

Відповідь

v = 8,346 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 24,6 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Імпульс до удару

p = M·u = 8·30 = 240 kg·m/s

Імпульс після удару

240 = 3·39 + 5·v′₂

v′₂ = (240 − 117)/5 = 24,6 m/s

Відповідь

v′₂ = 24,6 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 174 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,15·(8 + 21) = 4,35 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 4,35/0,025 = 174 N

Відповідь

F_avg = 174 N

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: P_avg = 2,982 kW

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

Енергія

E = ½·I·ω² = ½·31·104,7² = 169977 J

Середня потужність

P_avg = E/t = 169977/57 = 2982 W = 2,982 kW

Відповідь

P_avg = 2,982 kW

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: ω = 5,477 rad/s

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Момент інерції після удару

I = M·L²/3 + m·d² = 8·0,9²/3 + 0,035·0,71² = 2,178 kg·m²

Момент імпульсу відносно шарніра

Сила в шарнірі проходить через шарнір, тож під час удару не має там моменту.

m·v·d = I·ω → ω = 0,035·480·0,71/2,178 = 5,477 rad/s

Відповідь

ω = 5,477 rad/s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 146,2 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 39,79·45/12·0,98 = 146,2 N·m

Відповідь

T₂ = 146,2 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 468,8 rpm

Перший ступінь

n_B = 1500·30/32 = 1406 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1406·16/48 = 468,8 rpm

Відповідь

n_out = 468,8 rpm

загальне передаточне відношення = 3,2 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: v = 1,61 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(160/1) = 12,65 rad/s

ω·t = 12,65·1,4 = 17,71 rad

Швидкість

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,14·12,65·sin(17,71) = 1,61 m/s

Відповідь

v = 1,61 m/s

18.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 100 m/s²

Кутова частота

ω = √(250/0,5) = 22,36 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,2·22,36² = 100 m/s²

Відповідь

a_max = 100 m/s²

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,249

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·100) = 2449 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 610/2449 = 0,249

Відповідь

ζ = 0,249

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,979 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 20 = 25 kN/m

Власна частота

ω_n = √(25000/40) = 25 rad/s

f_n = 25/(2π) = 3,979 Hz

Відповідь

f_n = 3,979 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics