Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 120 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,2 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 120 km/ht_r = 1,2 sa = −7 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 8 m/s з краю даху на висоті 40 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 8 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 10 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 10 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 1 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 30 m/s під кутом 50° над горизонталлю в бік стіни на відстані 54 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 30 m/sθ = 50°x = 54 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з вершини скелі висотою 45 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 35 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,6 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 60° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 1,6 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 290 m має нахил полотна 12°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 290 mθ = 12°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2 kg ковзає 19 m похилою площиною під кутом 20° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,15. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2 kgθ = 20°μ = 0,15d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,4). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 3 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 2,5 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgμ = 0,4d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4,5 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 5 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,9 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 25° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 5 gM = 1,5 kgL = 1,9 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 23 kg·m² обертається з частотою 2300 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 90 N·m. Скільки обертів N зробить маховик до зупинки?

I = 23 kg·m²n = 2300 rpmT_b = 90 N·m

N = rev

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 15° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a його центра.

θ = 15°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Черв’як із кількістю заходів 2 обертається з частотою 1440 rpm і приводить черв’ячне колесо з 40 зубцями. Знайдіть частоту обертання n_w колеса.

z = 2N_w = 40n = 1440 rpm

n_w = rpm

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою 1440 rpm приводить колесо A (36 зубців), зчеплене з колесом B (48 зубців). Колесо C (25 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (30 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 98 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 7,5 kWn_in = 1440 rpmA = 36B = 48C = 25D = 30η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,5 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,5 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 1,8 s і амплітудою 6 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 6 cm до зміщення 4,8 cm?

T = 1,8 sA = 6 cmx = 4,8 cm

t = s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 10 kg спирається на пружину жорсткістю 20 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 130 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 10 kgk = 20 kN/mc = 130 N·s/m

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 60 kN/m, нижня — k₂ = 20 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 119,4 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 33,33·1,2 = 40 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·7) = 79,37 m

Разом

d = 40 + 79,37 = 119,4 m

Відповідь

d = 119,4 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 43,26 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9,81) = 3,262 m

Висота над землею

h_max = 40 + 3,262 = 43,26 m

Відповідь

h_max = 43,26 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,427 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 40° − 0,25·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1915) = 4,427 m/s²

Відповідь

a = 4,427 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 0,6792 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 5,396)/6,5 = 0,6792 m/s²

Відповідь

a = 0,6792 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 25,89 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Час до стіни

v_x = 30·cos 50° = 19,28 m/s

t = x/v_x = 54/19,28 = 2,8 s

Висота в цей момент

y = 22,98·2,8 − ½·9,81·2,8² = 25,89 m

Відповідь

y = 25,89 m

Біля стіни м’яч уже падає.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,486 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 20° = 32,89 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 20° = 11,97 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 45 + 11,97·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11,97 + √(143,3 + 882,9))/9,81 = 4,486 s

Відповідь

t = 4,486 s

7.Рух по колу

Відповідь: T = 1,794 s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,6·sin 60° = 1,386 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,386·9,81·tan 60°) = 4,852 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·1,386/4,852 = 1,794 s

Відповідь

T = 1,794 s

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 43,64 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(290·9,81·0,5992/0,895) = 43,64 m/s

Відповідь

v_max = 43,64 m/s

(157,1 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 52,54 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 19,62·0,9397 = 18,44 N

F = μN = 0,15·18,44 = 2,766 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 2,766·19 = 52,54 J

Відповідь

W_f = 52,54 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 3,132 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 29,43·2,5 = 73,58 J

μ·m₁g·d = 0,4·39,24·2,5 = 39,24 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 34,33 → v = √(2·34,33/7) = 3,132 m/s

Відповідь

v = 3,132 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 0,6 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4,5 − 3)/(4,5 + 3)·3 = 0,6 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 3)·3 = 3,6 m/s

Відповідь

v′₁ = 0,6 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 562,5 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,9·(1 − cos 25°) = 0,178 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,178) = 1,869 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,505·1,869/0,005 = 562,5 m/s

Відповідь

v = 562,5 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: N = 1180 rev

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·2300/60 = 240,9 rad/s

Робота гальма дорівнює кінетичній енергії

½·I·ω² = ½·23·240,9² = 667130 J

θ = 667130/90 = 7413 rad

Оберти

N = θ/2π = 1180 rev

Відповідь

N = 1180 rev

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: a = 1,814 m/s²

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/1,4 = 1,814 m/s²

Відповідь

a = 1,814 m/s²

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_w = 72 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 1440·2/40 = 72 rpm

Відповідь

n_w = 72 rpm

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 76,43 N·m

Вихідна частота обертання

n_out = 1440·(36/48)·(25/30) = 900 rpm

ω_out = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 7500·0,98² = 7203 W

T_out = P_out/ω_out = 7203/94,25 = 76,43 N·m

Відповідь

T_out = 76,43 N·m

17.Пружини й маятники

Відповідь: L = 1,553 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,5/2π)² = 1,553 m

Відповідь

L = 1,553 m

18.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,1843 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/1,8 = 3,491 rad/s

Виразіть час

0,8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,8) = 0,6435 rad

t = 0,6435/3,491 = 0,1843 s

Відповідь

t = 0,1843 s

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1453

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·10) = 894,4 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 130/894,4 = 0,1453

Відповідь

ζ = 0,1453

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 8,717 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/20 → k_eq = 60·20/(60 + 20) = 15 kN/m

Власна частота

ω_n = √(15000/5) = 54,77 rad/s

f_n = 54,77/(2π) = 8,717 Hz

Відповідь

f_n = 8,717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics