Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 3,25 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1600 m.

v₀ = 0a = 3,25 m/s²s = 1600 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 3,2 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 3,2 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 4,5 m/s і зупиняється, пройшовши 10 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 4,5 m/sd = 10 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 9 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 9 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 12 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 34 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 2,5 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 2,5 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,3 kg на нитці завдовжки 1,2 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 3 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,3 kgr = 1,2 mv = 3 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 4 kg ковзає 8 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,25. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 4 kgθ = 45°μ = 0,25d = 8 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 4000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 5 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0,2k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 2 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 13 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 2 kgh = 13 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,1 kg ударяється об стіну зі швидкістю 19 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 5 m/s. Контакт триває 5 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,1 kgv_in = 19 m/sv_out = 5 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 27 kg·m² обертається з частотою 2200 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 165 N·m. Скільки обертів N зробить маховик до зупинки?

I = 27 kg·m²n = 2200 rpmT_b = 165 N·m

N = rev

14.Обертання твердого тілаСкладна

порожниста куля котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 15° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Воно починає зі спокою. Скільки часу t воно котиться на 9,5 m вниз по схилу?

θ = 15°I = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²s = 9,5 m

t = s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 80 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 4 mm і передаточним відношенням 1,5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₁ має мати шестірня?

a = 80 mmm = 4 mmi = 1,5

N₁ =

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 24 зубців, а кожен сателіт — 12 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 3000 rpm. Знайдіть частоту обертання n_r вінця (за модулем).

N_s = 24N_p = 12n_s = 3000 rpm

n_r = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 1,7 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 1,7 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,6 kg на пружині з k = 150 N/m відтягують на 3 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 0,6 kgk = 150 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 12 mm через 5 циклів іде пік 4,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 12 mmx₅ = 4,7 mmn = 5

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 80 kN/m і k₂ = 30 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 102 m/s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·3,25·1600) = 102 m/s

Відповідь

v = 102 m/s

(367,1 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: d = 46,1 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(3,2 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1098 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1098))/(2·4,905) = 3,066 s

Глибина

d = ½·9,81·3,066² = 46,1 m

Відповідь

d = 46,1 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,1032

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 4,5²/(2·10) = 1,012 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,012/9,81 = 0,1032

Відповідь

μ = 0,1032

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 30,9 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 22,07)/12,5 = 0,981 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·0,981 + 22,07 = 30,9 N

Відповідь

T = 30,9 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 2,004 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 55° = 6,883 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 55° = 9,83 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·9,83/9,81 = 2,004 s

Відповідь

t = 2,004 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 151,4 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31,95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11,63 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 55 + 11,63·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11,63 + √(135,2 + 1079))/9,81 = 4,738 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 31,95·4,738 = 151,4 m

Відповідь

x = 151,4 m

7.Рух по колу

Відповідь: n = 24,42 rpm

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·2,5)) = 2,557 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 24,42 rpm

Відповідь

n = 24,42 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: T = 22,5 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,3·9,81 + 1,3·3²/1,2 = 12,75 + 9,75 = 22,5 N

Відповідь

T = 22,5 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 55,49 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 39,24·0,7071 = 27,75 N

F = μN = 0,25·27,75 = 6,937 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 6,937·8 = 55,49 J

Відповідь

W_f = 55,49 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 21,01 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 49,05·(2 − 0,2·1) = 88,29 J

Найбільше стиснення

½kx² = 88,29 → x = √(2·88,29/4000) = 0,2101 m = 21,01 cm

Відповідь

x = 21,01 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 321 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,13) = 1,597 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 2)·1,597/0,01 = 321 m/s

Відповідь

v = 321 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 480 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,1·(5 + 19) = 2,4 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 2,4/0,005 = 480 N

Відповідь

F_avg = 480 N

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: N = 691,2 rev

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·2200/60 = 230,4 rad/s

Робота гальма дорівнює кінетичній енергії

½·I·ω² = ½·27·230,4² = 716533 J

θ = 716533/165 = 4343 rad

Оберти

N = θ/2π = 691,2 rev

Відповідь

N = 691,2 rev

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: t = 3,532 s

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,6667·m·r²·(a/r) → f = 0,6667·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/1,667 = 1,523 m/s²

Час

s = ½·a·t² → t = √(2·9,5/1,523) = 3,532 s

Відповідь

t = 3,532 s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₁ = 16

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·80/4 = 40

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 40/(1 + 1,5) = 16

Відповідь

N₁ = 16

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_r = 1500 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·12 = 48

Формула Вілліса за нерухомого водила

При n_c = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −3000·24/48 = −1500 rpm

|n_r| = 1500 rpm

Відповідь

n_r = 1500 rpm

Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,616 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(1,7/9,81) = 2,616 s

Відповідь

T = 2,616 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 7,5 m/s²

Кутова частота

ω = √(150/0,6) = 15,81 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,03·15,81² = 7,5 m/s²

Відповідь

a_max = 7,5 m/s²

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,02982

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/5)·ln(12/4,7) = 0,1875

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1875/√(39,48 + 0,03514) = 0,02982

Відповідь

ζ = 0,02982

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 110 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 30 = 110 kN/m

Відповідь

k_eq = 110 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics