Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.
Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 10 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 18 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?
Брусок масою 16 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.
Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 20° зі швидкістю 8 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?
М’яч кидають з рівної землі під кутом 50° над горизонталлю, і він падає на відстані 130 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v0.
М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з вершини скелі висотою 60 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 120 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.
Візок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 38 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 9,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції Ntop траси на візок у верхній точці петлі.
Брусок масою 5 kg ковзає 4 m похилою площиною під кутом 25° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,25. Знайдіть роботу Wf проти сили тертя.
Візок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 2,6 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 1 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.
Візок масою 3 kg, що рухається зі швидкістю 11 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′2 другого візка після зіткнення.
Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,6 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 40° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.
Маховик із моментом інерції 1,5 kg·m² обертається з частотою 700 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 135 N·m. Скільки часу t він зупиняється?
суцільна куля починає рух зі стану спокою й котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 25° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Його радіус — 0,1 m. Знайдіть його кутову швидкість ω після того, як він прокотиться 8 m вздовж схилу.
Шків 125 мм при 1440 об/хв приводить шків 200 мм пасом із прослизанням 1,5 %. Знайдіть частоту обертання n2 веденого шківа.
У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (16 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 2880 rpm і приводить колесо B (72 зубців). Колесо C (30 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 600 rpm. Скільки зубців ND має мати колесо D?
Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 0,6 m має період 2,53 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.
Куля масою 5 g, що летить зі швидкістю 400 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 2 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 1900 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.
Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 15 mm через один цикл іде пік 13,2 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
Маса 40 kg висить на пружині k₃ = 15 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 40 kN/m і k₂ = 12 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту fn вертикальних коливань у Hz.
Відповідь: t = 3,968 s
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Відповідь: y = 8,486 m
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Напрямок угору додатний, земля — y = 0.
Відповідь: a = 2,812 m/s²
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Униз уздовж площини — додатний напрямок.
Відповідь: d = 6,155 m
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.
Відповідь: v0 = 35,99 m/s
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Відповідь: t = 5,346 s
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
Відповідь: vmax = 28,71 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: Ntop = 14,71 N
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Напрямок до центра додатний.
Відповідь: Wf = 44,45 J
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Відповідь: N = 1,962 N
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.
Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.
Відповідь: v′2 = 12 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.
Відповідь: v = 273,7 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Відповідь: t = 0,8145 s
Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.
Відповідь: ω = 68,83 rad/s
Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.
Кочення без проковзування: ω = v/r, а тертя в точці контакту роботи не виконує.
Відповідь: n2 = 886,5 rpm
Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.
Відповідь: ND = 32
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Відповідь: g = 3,701 m/s²
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: A = 3,24 cm
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: ζ = 0,02034
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Відповідь: fn = 2,715 Hz
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Паралельні лише k1 і k2. Ця пара з’єднана послідовно з k3, тож об’єднуйте їх через обернені величини.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics