Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 50 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 50 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 2,5 m/s² протягом 7 s, потім їде зі сталою швидкістю 16 s і нарешті гальмує з прискоренням 2 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 16 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 30 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 35° над горизонталлю із силою 170 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 30 kgF = 170 Nθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 95 N тягне передній брусок масою 6 kg; брусок масою 8 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a брусків.

m₁ = 8 kgm₂ = 6 kgF = 95 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 15° над горизонталлю, і він падає на відстані 35 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 15°R = 35 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з вершини скелі висотою 50 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 19 m/sθ = 60°h = 50 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 100 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 100 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,1 kg на нитці завдовжки 0,6 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 7 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,1 kgr = 0,6 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 1 kg висить на легкій нитці завдовжки 3 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 90° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 1 kgL = 3 mθ = 90°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 1500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 2,5 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 2 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1400 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1900 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 7,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1400 kgm₂ = 1900 kgd = 7,5 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 2,5 kg і довжиною 0,5 m закріплено шарнірно за один кінець і відпускають зі стану спокою з горизонтального положення. До його вільного кінця прикріплено маленьку кульку масою 5 kg. Нехтуйте тертям і візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кутову швидкість ω стрижня, коли він проходить вертикальне положення.

m = 2,5 kgL = 0,5 mm_ball = 5 kgg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 15° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Воно починає зі спокою. Скільки часу t воно котиться на 8,5 m вниз по схилу?

θ = 15°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²s = 8,5 m

t = s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 0,55 kW із частотою 960 rpm приводить черв’як із кількістю заходів 4. Черв’ячне колесо має 45 зубців, ККД передачі 60 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_w на валу колеса.

z = 4N_w = 45n = 960 rpmP = 0,55 kWη = 60%

T_w = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою 960 rpm приводить колесо A (24 зубців), зчеплене з колесом B (40 зубців). Колесо C (72 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (80 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 96 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 7,5 kWn_in = 960 rpmA = 24B = 40C = 72D = 80η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 2,5 kg на пружині з k = 160 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 5 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 1 cm від положення рівноваги.

m = 2,5 kgk = 160 N/mA = 5 cmx = 1 cm

v = m/s

18.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 15 g, що летить зі швидкістю 100 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 2 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 2000 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 15 gv = 100 m/sM = 2 kgk = 2000 N/m

A = cm

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 25 mm через один цикл іде пік 11,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 25 mmx₁ = 11,7 mmn = 1

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на пружині k₃ = 5 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 20 kN/m і k₂ = 40 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 17,54 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·5,5) = 17,54 m

Відповідь

s = 17,54 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 417,8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 2,5·7 = 17,5 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·2,5·7² = 61,25 m

s₂ = 17,5·16 = 280 m

s₃ = 17,5²/(2·2) = 76,56 m

Повна відстань

s = 61,25 + 280 + 76,56 = 417,8 m

Відповідь

s = 417,8 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,674 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 170·sin 35° = 196,8 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 139,3 − 59,04

a = 80,22/30 = 2,674 m/s²

Відповідь

a = 2,674 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,805 m/s²

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 13,73)/14 = 5,805 m/s²

Відповідь

a = 5,805 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 26,2 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·35/sin 30°) = 26,2 m/s

Відповідь

v₀ = 26,2 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 5,284 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 60° = 9,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 60° = 16,45 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 50 + 16,45·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,45 + √(270,8 + 981))/9,81 = 5,284 s

Відповідь

t = 5,284 s

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 26,2 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·100) = 26,2 m/s

Відповідь

v_max = 26,2 m/s (94,34 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 100,6 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,1·9,81 + 1,1·7²/0,6 = 10,79 + 89,83 = 100,6 N

Відповідь

T = 100,6 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 29,43 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 90°) = 58,86 m²/s²

Сили внизу

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

T = mg + mv²/L = 9,81 + 1·58,86/3 = 29,43 N

Відповідь

T = 29,43 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 29,43 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 26,52 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(2,5 − 0,1·3,5) = 52,73 J

Найбільше стиснення

½kx² = 52,73 → x = √(2·52,73/1500) = 0,2652 m = 26,52 cm

Відповідь

x = 26,52 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 0,5 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2,5 − 1,5)/(2,5 + 1,5)·2 = 0,5 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 1,5)·2 = 2,5 m/s

Відповідь

v′₁ = 0,5 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 22,15 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·7,5) = 9,396 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3300·9,396/1400 = 22,15 m/s

Відповідь

v₁ = 22,15 m/s

(79,73 km/h)

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: ω = 6,484 rad/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Втрата потенціальної енергії

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 2,5·9,81·0,25 + 5·9,81·0,5 = 30,66 J

Момент інерції відносно шарніра

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 0,2083 + 1,25 = 1,458 kg·m²

Енергетичний баланс

½·I_O·ω² = 30,66 → ω = √(2·30,66/1,458) = 6,484 rad/s

Відповідь

ω = 6,484 rad/s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: t = 3,062 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/1,4 = 1,814 m/s²

Час

s = ½·a·t² → t = √(2·8,5/1,814) = 3,062 s

Відповідь

t = 3,062 s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_w = 36,93 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 960·4/45 = 85,33 rpm

Вихідний крутний момент

ω_w = 2π·85,33/60 = 8,936 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,6·550/8,936 = 36,93 N·m

Відповідь

T_w = 36,93 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 127,3 N·m

Вихідна частота обертання

n_out = 960·(24/40)·(72/80) = 518,4 rpm

ω_out = 2π·518,4/60 = 54,29 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 7500·0,96² = 6912 W

T_out = P_out/ω_out = 6912/54,29 = 127,3 N·m

Відповідь

T_out = 127,3 N·m

17.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,3919 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(160/2,5) = 8 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 8·√(0,05² − 0,01²) = 0,3919 m/s

Відповідь

v = 0,3919 m/s

18.Пружини й маятники

Відповідь: A = 2,363 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,015·100/2,015 = 0,7444 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(2000/2,015) = 31,5 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 0,7444/31,5 = 0,02363 m = 2,363 cm

Відповідь

A = 2,363 cm

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,12

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/1)·ln(25/11,7) = 0,7593

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7593/√(39,48 + 0,5765) = 0,12

Відповідь

ζ = 0,12

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 1,529 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 20 + 40 = 60 kN/m

k_eq = 60·5/(60 + 5) = 4,615 kN/m

Власна частота

ω_n = √(4615/50) = 9,608 rad/s

f_n = 9,608/(2π) = 1,529 Hz

Відповідь

f_n = 1,529 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics