Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 120 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3,5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 120 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1,5 m/s² протягом 10 s, потім їде зі сталою швидкістю 28 s і нарешті гальмує з прискоренням 4 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 10 st₂ = 28 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 12 m/s і зупиняється, пройшовши 37 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 12 m/sd = 37 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 55 N тягне передній брусок масою 10 kg; брусок масою 1 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a брусків.

m₁ = 1 kgm₂ = 10 kgF = 55 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 30 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 32 m/s під кутом 70° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 5 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 32 m/sθ = 70°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 2,5 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 2,5 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 1,8 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 0,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 4 kgh = 1,8 mR = 0,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 15° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 13 m вздовж площини.

θ = 15°μ = 0,1d = 13 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 2000 N/m біля підніжжя схилу 35° стискають на 10 cm бруском масою 0,5 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,25. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 0,5 kgk = 2000 N/mx = 10 cmθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 9 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 19 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 2 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 42 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 7 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 9 kgu = 19 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 42 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,1 kg ударяється об стіну зі швидкістю 14 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 20 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,1 kgv_in = 14 m/sv_out = 20 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Обертання твердого тілаСередня

Двигун віддає момент 50 N·m за частоти 2000 rpm. Знайдіть його вихідну потужність P у kW.

T = 50 N·mn = 2000 rpm

P = kW

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 20° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a його центра.

θ = 20°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 2,2 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 16, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 60. Втратами знехтуйте. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 2,2 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 16N₂ = 60η = 100%

T₁ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 1,1 kW із частотою 2900 rpm приводить колесо A (15 зубців), зчеплене з колесом B (40 зубців). Колесо C (15 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (50 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 95 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 1,1 kWn_in = 2900 rpmA = 15B = 40C = 15D = 50η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,3 m має період 3,71 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,3 mT = 3,71 s

g = m/s²

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 40 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 17 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 6 cm від положення рівноваги.

k = 40 N/mA = 17 cmx = 6 cm

U = J

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 30 mm через 2 циклів іде пік 10,9 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 30 mmx₂ = 10,9 mmn = 2

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 10 kN/m і k₂ = 40 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 9,524 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33,33/3,5 = 9,524 s

Відповідь

t = 9,524 s

2.Кінематика

Відповідь: s = 523,1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1,5·10 = 15 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·1,5·10² = 75 m

s₂ = 15·28 = 420 m

s₃ = 15²/(2·4) = 28,13 m

Повна відстань

s = 75 + 420 + 28,13 = 523,1 m

Відповідь

s = 523,1 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,1984

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 12²/(2·37) = 1,946 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,946/9,81 = 0,1984

Відповідь

μ = 0,1984

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,057 m/s²

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (55 − 32,37)/11 = 2,057 m/s²

Відповідь

a = 2,057 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 91,74 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 45° = 21,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 45° = 21,21 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·21,21/9,81 = 4,325 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 21,21·4,325 = 91,74 m

Відповідь

x = 91,74 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 65,22 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 10,94 m/s, v_y = 30,07 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

5 = 30,07·t − 4,905·t²

t = (30,07 + √(30,07² − 2·9,81·5))/9,81 = 5,959 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 10,94·5,959 = 65,22 m

Відповідь

x = 65,22 m

7.Рух по колу

Відповідь: n = 21,15 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·2,5)) = 2,215 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 21,15 rpm

Відповідь

n = 21,15 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 86,33 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(1,8 − 2·0,5) = 15,7 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 4·15,7/0,5 − 39,24 = 86,33 N

Відповідь

N_top = 86,33 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,433 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·13·(0,2588 − 0,1·0,9659)) = 6,433 m/s

Відповідь

v = 6,433 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 2,619 m

Енергія пружини

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·2000·0,1² = 10 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 10/(4,905·(0,5736 + 0,25·0,8192)) = 2,619 m

Відповідь

d = 2,619 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 12,43 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 9·19 = 171 kg·m/s

Імпульс після удару

171 = 2·42 + 7·v′₂

v′₂ = (171 − 84)/7 = 12,43 m/s

Відповідь

v′₂ = 12,43 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 136 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,1·(20 + 14) = 3,4 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 3,4/0,025 = 136 N

Відповідь

F_avg = 136 N

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: P = 10,47 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·2000/60 = 209,4 rad/s

Потужність

P = T·ω = 50·209,4 = 10472 W = 10,47 kW

Відповідь

P = 10,47 kW

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: a = 2,397 m/s²

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 20°/1,4 = 2,397 m/s²

Відповідь

a = 2,397 m/s²

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 14,49 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/151,8 = 14,49 N·m

Відповідь

T₁ = 14,49 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 29,06 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 2900·(15/40)·(15/50) = 326,3 rpm

ω_out = 2π·326,3/60 = 34,16 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 1100·0,95² = 992,8 W

T_out = P_out/ω_out = 992,8/34,16 = 29,06 N·m

Відповідь

T_out = 29,06 N·m

17.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,729 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,3/3,71² = 3,729 m/s²

Відповідь

g = 3,729 m/s²

18.Пружини й маятники

Відповідь: U = 0,072 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·40·0,17² = 0,578 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·40·0,06² = 0,072 J

Відповідь

U = 0,072 J

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,08031

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(30/10,9) = 0,5062

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5062/√(39,48 + 0,2563) = 0,08031

Відповідь

ζ = 0,08031

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 5,033 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 40 = 50 kN/m

Власна частота

ω_n = √(50000/50) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Відповідь

f_n = 5,033 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics