Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 50 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,2 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 50 km/ht_r = 1,2 sa = −5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 9 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 9 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 15 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 30° над горизонталлю із силою 120 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 15 kgF = 120 Nθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 30° над горизонталлю, і він падає на відстані 100 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 30°R = 100 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 21 m/s під кутом 35° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 4 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 21 m/sθ = 35°h_roof = 4 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 75 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 75 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,4 kg на нитці завдовжки 1,2 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 9 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,4 kgr = 1,2 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 20 m вздовж площини.

θ = 45°μ = 0,2d = 20 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 0,5 kgh = 2 mL = 1,5 mμ = 0,25k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 2 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 3 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 2 kgh = 3 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 2 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,2 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 25° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 2 kgL = 1,2 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Вантаж 9 kg висить на легкому шнурі, намотаному на шків — однорідний суцільний диск масою 17,5 kg і радіусом 0,35 m, що обертається на горизонтальній осі без тертя. Вантаж відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кутове прискорення α шківа.

m = 9 kgM = 17,5 kgR = 0,35 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільний циліндр починає рух зі стану спокою й котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 25° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Його радіус — 0,35 m. Знайдіть його кутову швидкість ω після того, як він прокотиться 2,5 m вздовж схилу.

θ = 25°s = 2,5 mI = ½·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,35 m

ω = rad/s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 5,5 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з 25 зубцями й модулем 2,5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 5,5 kWn = 960 rpmN₁ = 25m = 2,5 mm

F_t = N

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (16 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (60 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (25 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1440 rpmA = 16B = 60C = 18D = 25

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,4 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 2,4 s і амплітудою 18 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 18 cm до зміщення 7,2 cm?

T = 2,4 sA = 18 cmx = 7,2 cm

t = s

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 30 mm через 3 циклів іде пік 9,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 30 mmx₃ = 9,7 mmn = 3

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на пружині k₃ = 10 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 25 kN/m і k₂ = 12 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 35,96 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 13,89·1,2 = 16,67 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·5) = 19,29 m

Разом

d = 16,67 + 19,29 = 35,96 m

Відповідь

d = 35,96 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,135 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−20 = 9·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 9·t − 20 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (9 + √(9² + 2·9,81·20))/9,81 = 3,135 s

Відповідь

t = 3,135 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,766 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 120·sin 30° = 87,15 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 103,9 − 17,43

a = 86,49/15 = 5,766 m/s²

Відповідь

a = 5,766 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 13,39 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 10,3)/5 = 0,8829 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3,5·0,8829 + 10,3 = 13,39 N

Відповідь

T = 13,39 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 33,66 m/s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·100/sin 60°) = 33,66 m/s

Відповідь

v₀ = 33,66 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 35,43 m

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 17,2 m/s, v_y = 12,05 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

4 = 12,05·t − 4,905·t²

t = (12,05 + √(12,05² − 2·9,81·4))/9,81 = 2,06 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 17,2·2,06 = 35,43 m

Відповідь

x = 35,43 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 19,18 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·75) = 19,18 m/s

Відповідь

v_max = 19,18 m/s (69,05 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 108,2 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,4·9,81 + 1,4·9²/1,2 = 13,73 + 94,5 = 108,2 N

Відповідь

T = 108,2 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 14,9 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·20·(0,7071 − 0,2·0,7071)) = 14,9 m/s

Відповідь

v = 14,9 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 5,646 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(2 − 0,25·1,5) = 7,971 J

Найбільше стиснення

½kx² = 7,971 → x = √(2·7,971/5000) = 0,05646 m = 5,646 cm

Відповідь

x = 5,646 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 128,6 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,03) = 0,7672 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 2)·0,7672/0,012 = 128,6 m/s

Відповідь

v = 128,6 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 199,5 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,2·(1 − cos 25°) = 0,1124 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,1124) = 1,485 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 2,015·1,485/0,015 = 199,5 m/s

Відповідь

v = 199,5 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: α = 14,21 rad/s²

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Вантаж і шків

брусок: m·g − T = m·a

шків: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Прискорення

a = m·g/(m + M/2) = 9·9,81/(9 + 8,75) = 4,974 m/s²

Кутове прискорення

α = a/R = 4,974/0,35 = 14,21 rad/s²

Відповідь

α = 14,21 rad/s²

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: ω = 10,62 rad/s

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Висота спуску

h = s·sin θ = 2,5·sin 25° = 1,057 m

Енергетичний баланс для кочення

Кочення без проковзування: ω = v/r, а тертя в точці контакту роботи не виконує.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,5)

v = √(2·9,81·1,057/1,5) = 3,717 m/s

ω = v/r = 3,717/0,35 = 10,62 rad/s

Відповідь

ω = 10,62 rad/s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 1751 N

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 5500/100,5 = 54,71 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 2,5·25 = 62,5 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·54,71/0,0625 = 1751 N

Відповідь

F_t = 1751 N

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 276,5 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1440·16/60 = 384 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 384·18/25 = 276,5 rpm

Відповідь

n_out = 276,5 rpm

загальне передаточне відношення = 5,208 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 1,269 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,4/9,81) = 1,269 s

Відповідь

T = 1,269 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,4428 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/2,4 = 2,618 rad/s

Виразіть час

0,4 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,4) = 1,159 rad

t = 1,159/2,618 = 0,4428 s

Відповідь

t = 0,4428 s

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,05979

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/3)·ln(30/9,7) = 0,3764

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3764/√(39,48 + 0,1416) = 0,05979

Відповідь

ζ = 0,05979

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,466 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 25 + 12 = 37 kN/m

k_eq = 37·10/(37 + 10) = 7,872 kN/m

Власна частота

ω_n = √(7872/10) = 28,06 rad/s

f_n = 28,06/(2π) = 4,466 Hz

Відповідь

f_n = 4,466 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics