Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 2 m/s². Знайдіть його швидкість v через 700 m.

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 700 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 3 m/s² протягом 10 s, потім їде зі сталою швидкістю 22 s і нарешті гальмує з прискоренням 4,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 10 st₂ = 22 sa₃ = −4,5 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 40 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 15° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 40 kgθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 65° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 26 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 10 m/s під кутом 30° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.

v₀ = 10 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,7 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 15° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 1,7 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 8,5 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 2,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 0,5 kgh = 8,5 mR = 2,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 12 m вздовж площини.

θ = 30°μ = 0,25d = 12 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 500 N/m біля підніжжя схилу 20° стискають на 8 cm бруском масою 0,5 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,2. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 0,5 kgk = 500 N/mx = 8 cmθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 500 kg, що рухається зі швидкістю 8 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 500 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 500 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,5 kg ударяється об стіну зі швидкістю 27 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 6 m/s. Контакт триває 5 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,5 kgv_in = 27 m/sv_out = 6 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 6 kg і довжиною 1,4 m закріплено шарнірно за один кінець і утримують горизонтально. Його відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a_tip вільного кінця одразу після відпускання.

m = 6 kgL = 1,4 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля починає рух зі стану спокою й котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 15° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його швидкість v після того, як він прокотиться 5 m вздовж схилу.

θ = 15°s = 5 mI = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 80 мм при 1450 об/хв приводить шків 300 мм пасом із прослизанням 2,5 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 300 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 24 зубців, а кожен сателіт — 18 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 3000 rpm. Знайдіть частоту обертання n_r вінця (за модулем).

N_s = 24N_p = 18n_s = 3000 rpm

n_r = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 3 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 3 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 1,3 s і амплітудою 14 cm. За який найменший час t воно переміститься з положення рівноваги до зміщення 5,6 cm?

T = 1,3 sA = 14 cmx = 5,6 cm

t = s

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 50 mm через 2 циклів іде пік 23,5 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 50 mmx₂ = 23,5 mmn = 2

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 100 kN/m, нижня — k₂ = 20 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 52,92 m/s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·2·700) = 52,92 m/s

Відповідь

v = 52,92 m/s

(190,5 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: s = 910 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 3·10 = 30 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·3·10² = 150 m

s₂ = 30·22 = 660 m

s₃ = 30²/(2·4,5) = 100 m

Повна відстань

s = 150 + 660 + 100 = 910 m

Відповідь

s = 910 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 177,4 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 101,6 + 75,81 = 177,4 N

Відповідь

F = 177,4 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,905 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 4,905)/6 = 4,905 m/s²

Відповідь

a = 4,905 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,804 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 65° = 10,99 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 65° = 23,56 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·23,56/9,81 = 4,804 s

Відповідь

t = 4,804 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v = 19,86 m/s

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 10·cos 30° = 8,66 m/s

v_y0 = 10·sin 30° = 5 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(5² + 2·9,81·15) = 17,87 m/s

Швидкість у момент удару

v = √(8,66² + 17,87²) = 19,86 m/s

Відповідь

v = 19,86 m/s

Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.

7.Рух по колу

Відповідь: T = 2,571 s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,7·sin 15° = 0,44 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,44·9,81·tan 15°) = 1,075 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,44/1,075 = 2,571 s

Відповідь

T = 2,571 s

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 8,829 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(8,5 − 2·2,5) = 68,67 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 0,5·68,67/2,5 − 4,905 = 8,829 N

Відповідь

N_top = 8,829 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,17 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·12·(0,5 − 0,25·0,866)) = 8,17 m/s

Відповідь

v = 8,17 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 0,6155 m

Енергія пружини

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·500·0,08² = 1,6 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 1,6/(4,905·(0,342 + 0,2·0,9397)) = 0,6155 m

Відповідь

d = 0,6155 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 8000 J

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·8/1000 = 4 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·500·8² = 16000 J

K_after = ½·1000·4² = 8000 J

Втрачена енергія

ΔK = 16000 − 8000 = 8000 J

Відповідь

ΔK = 8000 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 3300 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,5·(6 + 27) = 16,5 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 16,5/0,005 = 3300 N

Відповідь

F_avg = 3300 N

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: a_tip = 14,71 m/s²

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Моменти відносно шарніра

У момент відпускання ω = 0, тож доцентрового прискорення немає, і центр прискорюється строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,4) = 10,51 rad/s²

Прискорення вільного кінця

a_tip = α·L = 10,51·1,4 = 14,71 m/s²

Відповідь

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g для будь-якої довжини: вільний кінець падає швидше за кинутий камінь.

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: v = 4,259 m/s

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Висота спуску

h = s·sin θ = 5·sin 15° = 1,294 m

Енергетичний баланс для кочення

Кочення без проковзування: ω = v/r, а тертя в точці контакту роботи не виконує.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,4)

v = √(2·9,81·1,294/1,4) = 4,259 m/s

Відповідь

v = 4,259 m/s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 377 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

1450·80/300 = 386,7 rpm

З прослизанням

n₂ = 386,7·0,975 = 377 rpm

Відповідь

n₂ = 377 rpm

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_r = 1200 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·18 = 60

Формула Вілліса за нерухомого водила

При n_c = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −3000·24/60 = −1200 rpm

|n_r| = 1200 rpm

Відповідь

n_r = 1200 rpm

Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,475 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(3/9,81) = 3,475 s

Відповідь

T = 3,475 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,08514 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/1,3 = 4,833 rad/s

Виразіть час

0,4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,4) = 0,4115 rad

t = 0,4115/4,833 = 0,08514 s

Відповідь

t = 0,08514 s

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,05997

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(50/23,5) = 0,3775

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3775/√(39,48 + 0,1425) = 0,05997

Відповідь

ζ = 0,05997

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 9,189 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/20 → k_eq = 100·20/(100 + 20) = 16,67 kN/m

Власна частота

ω_n = √(16667/5) = 57,74 rad/s

f_n = 57,74/(2π) = 9,189 Hz

Відповідь

f_n = 9,189 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics