Основи електротехніки: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​3 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 25 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​25 ΩAR4​10 ΩBR6​15 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 5 VR1 = 25 ΩR2 = 25 ΩR3 = 8 ΩR4 = 10 ΩR5 = 3 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​5 Ω+−V1​30 VR2​2 Ω−+V2​30 VR3​15 Ω+−V3​15 VI3​A

Між вузлом A і землею ввімкнено три вітки, як показано на схемі. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм I3 у вітці 3, що тече вгору у вузол A в напрямку стрілки.

V1 = 30 VR1 = 5 ΩV2 = 30 VR2 = 2 ΩV3 = 15 VR3 = 15 Ω
I3 = A
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 10 ΩR2​ = 6 ΩR4​ = 5 Ω+−V1​30 VR3​12 ΩAR5​30 ΩBIs​2 A−+V2​6 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти вузлову напругу VA (відносно землі).

V1 = 30 VIs = 2 AV2 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 5 ΩR5 = 30 Ω
VA = V
5.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
6.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAIs​5 ABab

Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.

V1 = 5 VIs = 5 AR1 = 30 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 Ω
Vth = V
7.Перехідні процеси RC і RLСередня
R = 15 Ωt = 0L68 mHi(t)

Через котушку тече сталий струм 3 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть напругу vR на R при t = 5 ms.

i(0) = 3 AR = 15 ΩL = 68 mHt = 5 ms
vR = V
8.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​20 Vt = 0R = 4,7 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 15 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 15 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 200 ms.

Vs = 20 VR = 4,7 kΩC = 47 µFvC(0) = 15 Vt = 200 ms
vC = V
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
24 V50 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 100 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 100 µF
φ = °
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
120 V50 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 40 ΩC = 100 µF

Резистор R1 увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R2 і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR1 = 10 ΩR2 = 40 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
240 VR + jXP = 3330 W18,5 A

Індуктивне навантаження споживає 18,5 A і 3330 W від однофазної мережі 240 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть X.

V = 240 VI = 18,5 AP = 3330 W
X = Ω
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P = 15 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазне навантаження споживає 15 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 15 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
13.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M37 kW, η = 91%cos φ = 0,82

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 37 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 91%, а коефіцієнт потужності 0,82, відстаючий. Лінійна напруга мережі 415 V. Знайдіть лінійний струм IL.

Pout = 37 kWη = 91%cos φ = 0,82VL = 415 V
IL = A
14.Трифазні системиСкладна
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 250 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаториСередня
RL​ = 12 Ω2014800 VV2​I1​ = ?I2​

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 20:1 прикладено 4800 V. До вторинної обмотки підключено резистор 12 Ω. Знайдіть первинний струм I1.

N1:N2 = 20:1V1 = 4800 VRL = 12 Ω
I1 = A
16.ТрансформаториСкладна
pf 0,8550 kVA, 50% навантаження

Однофазний трансформатор 50 kVA має втрати в сталі 400 W і втрати в міді 800 W при номінальному навантаженні. Він віддає 50% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,85 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати Ploss у ватах при цьому навантаженні.

S = 50 kVAPcore = 400 WPcu,fl = 800 Wx = 0,5pf = 0,85
Ploss = W

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 3,5 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​3 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 3 + 3 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 2·6/(2+6) = 1,5 Ω
Req = R1 + 1,5 = 2 + 1,5 = 3,5 Ω

Відповідь

Req = 3,5 Ω
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 34,15 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 25 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​25 ΩAR4​10 ΩBR6​15 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 3 + 15 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 6,429 Ω
R3 + 6,429 = 14,43 Ω
R2 ∥ 14,43 = 9,149 Ω
Req = R1 + 9,149 = 25 + 9,149 = 34,15 Ω

Відповідь

Req = 34,15 Ω
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: I3 = 1,696 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

Нижній провід візьміть за землю. Кожна вітка проводить від A струм (VA − Vk)/Rk, де Vk — напруга її джерела (нуль для простого резистора). Сума струмів, що виходять з A, дорівнює нулю.

(VA − 30)/5 + (VA − (−30))/2 + (VA − 15)/15 = 0

Знайдіть VA

VA = (30/5 + (−30)/2 + 15/15) / (1/5 + 1/2 + 1/15) = −8/0,7667 = −10,43 V

Струм гілки

Стрілка спрямована вгору вздовж вітки, у вузол A.

I3 = (15 − VA)/R3 = (15 − (−10,43))/15 = 1,696 A

Відповідь

I3 = 1,696 A

Від’ємний результат означає, що дійсний струм тече проти стрілки.

4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VA = 5,941 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 10 ΩR2​ = 6 ΩR4​ = 5 Ω+−V1​30 VR3​12 ΩAR5​30 ΩBIs​2 A−+V2​6 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 30 V, V2 = −6 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/12 + (VA − 30)/10 + (VA − VB)/6 = 0
0,35·VA − 0,1667·VB = 3

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/6 + (VB − (−6))/5 = (−2)
−0,1667·VA + 0,4·VB = −3,2

Розв’яжіть

Δ = (0,35)(0,4) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,1122
VA = Δ1/Δ = 0,6667/0,1122 = 5,941 V
VB = Δ2/Δ = −0,62/0,1122 = −5,525 V

Відповідь

VA = 5,941 V
5.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 0,4286 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​5 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 6·5/(6+5) = 2,727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,727 + 10 = 12,73 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·5/(6+5) = 5,455 V
IN​0,4286 ARth​12,73 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 5,455/12,73 = 0,4286 A
6.Тевенен і Нортон

Відповідь: Vth = 62,14 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 30 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​5 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 30·5/(30+5) = 4,286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,286 + 8 = 12,29 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 0,7143 + 5·4,286 = 22,14 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 22,14 + 5·8 = 62,14 V
7.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vR = 14,94 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 68 mH / 15 Ω = 4,533 ms

Спадання струму

i(t) = 3·e−5/4,533 = 0,9957 A
vR = R·i = 15·0,9957 = 14,94 V

Відповідь

vR = 14,94 V
8.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 17,98 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms
vC(t) = 20 + (15 − 20)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(200) = 20 + (−5)·e−200/220,9 = 17,98 V

Відповідь

vC = 17,98 V
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 31,8 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (31)²) = 58,83 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(31/50) = 31,8°

Відповідь

φ = 31,8°
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 32,1 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

XC = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Zp на дійсну й уявну частини.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 15,51 − j19,49 Ω

Повний опір

Z = 10 + 15,51 − j19,49 = 25,51 − j19,49 Ω
|Z| = √(25,51² + 19,49²) = 32,1 Ω

Відповідь

|Z| = 32,1 Ω
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: X = 8,581 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 3330/18,5² = 9,73 Ω

Реактивний опір з повного опору

|Z| = V/I = 240/18,5 = 12,97 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(12,97² − 9,73²) = 8,581 Ω

Відповідь

X = 8,581 Ω
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 483,7 µF

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(45,57°) = 15,3 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(25,84°) = 7,265 kvar
QC = Q1 − Q2 = 8,038 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = QC/(2πf·V²) = 8038/(2π·50·230²) = 483,7 µF

Відповідь

C = 483,7 µF
13.Трифазні системи

Відповідь: IL = 68,98 A

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Електрична вхідна потужність

Pin = Pout/η = 37/0,91 = 40,66 kW

Струм лінії

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 40659/(√3·415·0,82) = 68,98 A

Відповідь

IL = 68,98 A
14.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 123,4 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 250·tan(acos 0,8) = 250·0,75 = 187,5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 66,42 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 22140/(377·690²) = 123,4 µF

Відповідь

Cph = 123,4 µF
15.Трансформатори

Відповідь: I1 = 1 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V2 = 4800/20 = 240 V
I2 = 240/12 = 20 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/20 = 1 A

Відповідь

I1 = 1 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·RL = 4800 Ω, і 4800/4800 дає той самий струм.

16.Трансформатори

Відповідь: Ploss = 600 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,25·800 = 200 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

Ploss = 400 + 200 = 600 W

Відповідь

Ploss = 600 W

ККД при цьому навантаженні η = 97,25%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals