Основи електротехніки: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​2 ΩB

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​36 VR2​10 ΩAR4​25 ΩBR6​20 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 36 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 25 ΩR5 = 6 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
−+Vs​ = 10 VIs​2 AAR1​2 ΩR2​8 ΩB

Джерело напруги Vₛ між A і B має затискач + біля B, тож забезпечує VB − VA = Vₛ. Методом вузлових потенціалів із надвузлом знайдіть вузлову напругу VA (відносно землі).

Is = 2 AVs = 10 VR1 = 2 ΩR2 = 8 Ω
VA = V
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​30 ΩAR4​3 ΩIR4​B0,1·VA​

Ромб — це джерело струму, кероване напругою, що подає струм 0,1·VA (в A, де VA у V) угору у вузол B. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм IR4 через R4 у напрямку стрілки.

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 30 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 Ωg = 0,1 A/V
IR4 = A
5.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAab

Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.

V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
6.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAIs​6 ABab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 10 VIs = 6 AR1 = 30 ΩR2 = 10 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
7.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​15 Vt = 0R = 68 ΩL100 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 75% кінцевого значення? Знайдіть t.

Vs = 15 VR = 68 ΩL = 100 mH
t = ms
8.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​12 Vрозмикається при t = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 6,8 kΩC47 µF+−vC​

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 80 ms.

Vs = 12 VR1 = 10 kΩR2 = 6,8 kΩC = 47 µFt = 80 ms
vC = V
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
12 V60 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µF
P = W
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
VfR = 5 ΩL = 20 mHC = 1 µF

Послідовне RLC-коло має R = 5 Ω, L = 20 mH і C = 1 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 5 ΩL = 20 mHC = 1 µF
B = Hz
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
P = 22 kWQSφ

Однофазний двигун споживає 22 kW при коефіцієнті потужності 0,9 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 22 kWpf = 0,9V = 240 V
I = A
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 230 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть реактивну потужність QC, яку має постачати конденсатор.

P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
13.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 400 VZ = 24 + j7 Ωна фазу

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 24 + j7 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

VL = 400 VZ = 24 + j7 Ω на фазу
P = kW
14.Трифазні системиСкладна
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 50 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаториСередня
2400 V240 VIHV​ = ?ILV​10 kVA

Однофазний трансформатор 10 kVA, 2400/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм IHV в обмотці вищої напруги.

S = 10 kVAV1 = 2400 VV2 = 240 V
IHV = A
16.ТрансформаториСкладна
pf 0,8100 kVA, η = 96,5%

Однофазний трансформатор 100 kVA має втрати в сталі 600 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) його ККД становить 96,5%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні Pcu,fl у ватах.

S = 100 kVAPcore = 600 Wpf = 0,8η = 96,5%
Pcu,fl = W

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 1,382 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​2 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 10 + 2 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Req = R1 + 1,714 = 20 + 1,714 = 21,71 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/21,71 = 1,382 A

Відповідь

IR1 = 1,382 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 3,781 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 3 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​36 VR2​10 ΩAR4​25 ΩBR6​20 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 6 + 20 = 26 Ω
R4 ∥ 26 = 12,75 Ω
R3 + 12,75 = 18,75 Ω
R2 ∥ 18,75 = 6,521 Ω
Req = R1 + 6,521 = 3 + 6,521 = 9,521 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 36/9,521 = 3,781 A

Відповідь

IR1 = 3,781 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VA = 1,2 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

Утворіть надвузол

Струм через джерело напруги між A і B невідомий, тож ЗСК не можна записати для A чи B окремо. Об’єднайте A, B і джерело в один надвузол: струм, що входить у нього, дорівнює струму, що виходить.

VB = VA + Vs = VA + 10
VA/R1 + VB/R2 = Is

Розв’яжіть

VA/2 + (VA + 10)/8 = 2
VA = (2 − 10/8)/(1/2 + 1/8) = 1,2 V
VB = 1,2 + 10 = 11,2 V

Відповідь

VA = 1,2 V
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: IR4 = 0,7692 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

Струми, що виходять з A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,3667·VA − 0,25·VB = 0,8333

ЗСК для вузла B

Залежне джерело подає g·VA у вузол B. Розглядайте його як незалежне джерело, потім перенесіть доданок з VA у ліву частину.

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,1·VA
−0,35·VA + 0,5833·VB = 0

Розв’яжіть

Δ = (0,3667)(0,5833) − (−0,25)(−0,35) = 0,1264
VA = Δ1/Δ = 0,4861/0,1264 = 3,846 V
VB = Δ2/Δ = 0,2917/0,1264 = 2,308 V

Струм через R₄

IR4 = VB/R4 = 2,308/3 = 0,7692 A

Відповідь

IR4 = 0,7692 A
5.Тевенен і Нортон

Відповідь: Vth = 1,667 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​4 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 3 = 6,333 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·4/(20+4) = 1,667 V
6.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 6,161 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 30 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​10 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 30·10/(30+10) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 8 = 15,5 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,5 + 6·7,5 = 47,5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 47,5 + 6·8 = 95,5 V
IN​6,161 ARth​15,5 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 95,5/15,5 = 6,161 A
7.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 2,039 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1,471 ms
i(∞) = Vs/R = 15/68 = 0,2206 A

Виразіть час

0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −1,471·ln(0,25) = 2,039 ms

Відповідь

t = 2,039 ms
8.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 3,782 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

vC(0) = 12·6,8/(10 + 6,8) = 4,857 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R2·C = 6,8·47 = 319,6 ms

Розряджання

vC(t) = 4,857·e−80/319,6 = 3,782 V

Відповідь

vC = 3,782 V
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 0,2043 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

XL = 18,85 Ω, XC = 120,6 Ω

Повний опір

|Z| = √(15² + (−101,7)²) = 102,8 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 12/102,8 = 0,1167 A
P = I²·R = 0,1167²·15 = 0,2043 W

Відповідь

P = 0,2043 W
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 39,79 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонансна частота

f0 = 1/(2π·√(0,02·1·10⁻⁶)) = 1125 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,02/(1·10⁻⁶)) = 28,28

Смуга пропускання

B = f0/Q = 1125/28,28 = 39,79 Hz

Відповідь

B = 39,79 Hz
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 101,9 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 22000/(240·0,9) = 101,9 A

Відповідь

I = 101,9 A
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: QC = 22,8 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(41,41°) = 44,1 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(23,07°) = 21,3 kvar
QC = Q1 − Q2 = 22,8 kvar

Відповідь

QC = 22,8 kvar
13.Трифазні системи

Відповідь: P = 18,43 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазна напруга

Vph = VL = 400 V

Фазний струм

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 400/25 = 16 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·Iph²·R = 3·16²·24 = 18,43 kW

Відповідь

P = 18,43 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,96, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.

14.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 525,5 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 50·tan(acos 0,72) = 50·0,9639 = 48,19 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 38,04 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 12680/(314,2·277,1²) = 525,5 µF

Відповідь

Cph = 525,5 µF
15.Трансформатори

Відповідь: IHV = 4,167 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

IHV = S/V = 10000/2400 = 4,167 A

Відповідь

IHV = 4,167 A
16.Трансформатори

Відповідь: Pcu,fl = 2302 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

Pout = 100·0,8 = 80 kW
Pin = 80000/0,965 = 82902 W

Сумарні втрати й втрати в міді

Ploss = 82902 − 80000 = 2902 W
Pcu,fl = 2902 − 600 = 2302 W

Відповідь

Pcu,fl = 2302 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals