Основи електротехніки: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩIR2​AR4​15 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩIR2​AR4​10 ΩBR6​15 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 ΩR5 = 15 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​ = 10 ΩR3​ = 5 ΩIR3​+−V1​15 VR2​15 ΩAR4​15 ΩBIs​1,5 A

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти струм IR3 через R3 у напрямку стрілки.

V1 = 15 VIs = 1,5 AR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 ΩR4 = 15 Ω
IR3 = A
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 6 Ω+−Vs​ = 6 V+−V1​6 VR2​5 ΩAR3​2 ΩBIs​2,5 A

Джерело напруги Vₛ між A і B має затискач + біля A, тож забезпечує VA − VB = Vₛ. Методом вузлових потенціалів із надвузлом знайдіть вузлову напругу VB (відносно землі).

V1 = 6 VIs = 2,5 AVs = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 Ω
VB = V
5.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 2 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
6.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAIs​5 ABab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 15 VIs = 5 AR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 Ω
IN = A
7.Перехідні процеси RC і RLСередня
R = 50 Ωt = 0L10 mHi(t)

Через котушку тече сталий струм 1,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

i(0) = 1,5 AR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
8.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​9 Vt = 0R = 10 kΩC?+−vC​

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 9 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 6,75 V, рівно через 250 ms після старту. При R = 10 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

Vs = 9 VVth = 6,75 VT = 250 msR = 10 kΩ
C = µF
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
120 V100 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 10 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 10 µF
φ = °
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
1 Vf0​R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,1 µF

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 1 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги VL на котушці.

V = 1 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,1 µF
VL = V
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
240 V125 kW, 0,7217 kW, 0,9I

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 25 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і навантаження 17 kW з коефіцієнтом потужності 0,9 (ємнісним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 240 VP1 = 25 kW, pf1 = 0,7 відстаючийP2 = 17 kW, pf2 = 0,9 ємнісний
cos φ =
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
240 V60 Hzнавантаження26 kW, 0,8C150 µFI = ?

Однофазне навантаження споживає 26 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (індуктивним) від мережі 240 V, 60 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 150 µF. Знайдіть новий струм лінії I.

P = 26 kWpf1 = 0,8V = 240 Vf = 60 HzC = 150 µF
I = A
13.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 400 VIL​ = 12 Acos φ = 0,82відстаючий

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 12 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,82, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

VL = 400 VIL = 12 Acos φ = 0,82
P = kW
14.Трифазні системиСкладна
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 120 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 120 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаториСередня
5 ΩN1​N2​720 Ω

Підсилювач з вихідним опором 720 Ω живить гучномовець 5 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 720 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

Rs = 720 ΩRL = 5 Ω
a =
16.ТрансформаториСкладна
250 kVA

Однофазний трансформатор 250 kVA має втрати в сталі 1500 W і втрати в міді 2250 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні Sη,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 250 kVAPcore = 1500 WPcu,fl = 2250 W
Sη,max = kVA

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 1,53 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​15 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 8 + 15 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 5·23/(5+23) = 4,107 Ω
Req = R1 + 4,107 = 12 + 4,107 = 16,11 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/16,11 = 1,863 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1,863·12 = 7,65 V
IR2 = VA/R2 = 7,65/5 = 1,53 A

Відповідь

IR2 = 1,53 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,4808 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 10 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​10 ΩBR6​15 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 15 + 15 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 7,5 Ω
R3 + 7,5 = 11,5 Ω
R2 ∥ 11,5 = 4,718 Ω
Req = R1 + 4,718 = 10 + 4,718 = 14,72 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 12/14,72 = 0,8153 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,8153·10 = 3,847 V
IR2 = VA/R2 = 3,847/8 = 0,4808 A

Відповідь

IR2 = 0,4808 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: IR3 = 1,212 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩAR4​15 ΩBIs​1,5 A

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 15 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/15 + (VA − 15)/10 + (VA − VB)/5 = 0
0,3667·VA − 0,2·VB = 1,5

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/5 = (−1,5)
−0,2·VA + 0,2667·VB = −1,5

Розв’яжіть

Δ = (0,3667)(0,2667) − (−0,2)(−0,2) = 0,05778
VA = Δ1/Δ = 0,1/0,05778 = 1,731 V
VB = Δ2/Δ = −0,25/0,05778 = −4,327 V

Відповідь

IR3 = (VA − VB)/R3 = (1,731 − −4,327)/5 = 1,212 A
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VB = 1,5 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

Утворіть надвузол

Струм через джерело напруги між A і B невідомий, тож ЗСК не можна записати для A чи B окремо. Об’єднайте A, B і джерело в один надвузол: струм, що входить у нього, дорівнює струму, що виходить.

VB = VA − 6
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

Розв’яжіть

(VA − 6)/6 + VA/5 + (VA − 6)/2 = 2,5
VA·(1/6 + 1/5 + 1/2) = 2,5 + 6/6 + 6/2 = 6,5
VA = 6,5/0,8667 = 7,5 V
VB = 1,5 V

Відповідь

VB = 1,5 V
5.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 0,6818 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​5 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 2·5/(2+5) = 1,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,429 + 8 = 9,429 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·5/(2+5) = 6,429 V
IN​0,6818 ARth​9,429 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 6,429/9,429 = 0,6818 A
6.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 5,268 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 ΩКЗR2​10 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 12·10/(12+10) = 5,455 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,455 + 20 = 25,45 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,818 + 5·5,455 = 34,09 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 34,09 + 5·20 = 134,1 V
IN​5,268 ARth​25,45 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 134,1/25,45 = 5,268 A
7.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,01011 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms

Спадання струму

i(t) = 1,5·e−1/0,2 = 0,01011 A

Відповідь

i = 0,01011 A
8.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 18,03 µF

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Потрібна стала часу

6,75 = 9·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(9/(9 − 6,75))
τ = 250/1,386 = 180,3 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 180,3/10 = 18,03 µF

Відповідь

C = 18,03 µF
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −78,43 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−146,6)²) = 149,6 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−146,6/30) = −78,43°

Відповідь

φ = −78,43°
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VL = 22,36 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,1·10⁻⁶) = 44721 rad/s
I = V/R = 1/10 = 0,1 A

Напруга на котушці

XL = ω₀L = 44721·0,005 = 223,6 Ω
VL = I·XL = 0,1·223,6 = 22,36 V

Відповідь

VL = 22,36 V

Це в Q = 22,36 разів більше за напругу мережі.

11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,9249

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q1 = 25·tan(arccos 0,7) = 25,51 kvar
Q2 = −17·tan(arccos 0,9) = −8,233 kvar

Сумарні значення

P = 25 + 17 = 42 kW
Q = 25,51 + (−8,233) = 17,27 kvar
S = √(42² + 17,27²) = 45,41 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 42/45,41 = 0,9249 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,9249
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 127,7 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = 26·tan(arccos 0,8) = 19,5 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·60·150·10⁻⁶ = 3257 var = 3,257 kvar
Q2 = 19,5 − 3,257 = 16,24 kvar

Нова повна потужність

S2 = √(26² + 16,24²) = 30,66 kVA

Новий струм лінії

I = S2/V = 30657/240 = 127,7 A

Відповідь

I = 127,7 A
13.Трифазні системи

Відповідь: P = 6,817 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Повна потужність

S = √3·VL·IL = √3·400·12 = 8,314 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 8,314·0,82 = 6,817 kW

Відповідь

P = 6,817 kW
14.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 1027 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,92) = 120·0,426 = 51,12 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 89,18 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 29725/(377·277,1²) = 1027 µF

Відповідь

Cph = 1027 µF
15.Трансформатори

Відповідь: a = 12

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·5 = 720
a = √(720/5) = √144 = 12

Відповідь

a = 12
16.Трансформатори

Відповідь: Sη,max = 204,1 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·2250 = 1500 → x = √(1500/2250) = 0,8165

Навантаження при максимальному ККД

Sη,max = x·S = 0,8165·250 = 204,1 kVA

Відповідь

Sη,max = 204,1 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals