Електроніка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Діоди й транзистори

Діод (постійний спад): V_D = 0,7 V when conducting
Активний режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фіксоване зміщення: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Зміщення дільником: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Еквівалент Тевенена дільника: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Колекторний контур: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насичення: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

DC-DC перетворювачі

Знижувальний: V_o = D·V_in
Підвищувальний: V_o = V_in/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей: V_inI_in = V_oI_o
Пульсації струму котушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Середній струм котушки: знижувальний I_o; підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o/(1 − D)
Пульсації виходу: знижувальний ΔI_L/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів: знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔI_L/2.

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

2Задачі для практики

1.Діоди й транзисториСередня

2 білий світлодіодів (пряма напруга 3 В кожен) з’єднано послідовно з резистором до джерела 12 В. Знайдіть опір R, що задає струм 5 мА.

V_s = 12 VV_F = 3 Vn = 2I = 5 mA

R = Ω

2.Діоди й транзисториСкладна

NPN-транзистор з β = 80 комутує резистор навантаження 100 Ω, увімкнений між V_CC = 24 V і його колектором. Емітер заземлено. Базу керують від логічного виходу 5 V через базовий резистор R_B = 33 kΩ. Візьміть V_BE = 0,7 V і V_CE(sat) = 0,2 V. Знайдіть струм колектора I_C у mA при високому рівні на вході. Спершу визначте, чи транзистор у насиченні.

V_CC = 24 VR_C = 100 Ωβ = 80V_in = 5 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 VR_B = 33 kΩ

I_C = mA

3.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V_in = −4 VR_a = 100 kΩR_b = 10 kΩR₁ = 10 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

4.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Інтегратор використовує ідеальний ОП із живленням ±15 V; його вихід насичується на рівні ±12 V. Конденсатор розряджений, коли при t = 0 подається стала вхідна напруга V_in = −2,1 V. Знайдіть вихідну напругу V_out при t = 0,5 ms.

V_in = −2,1 VR = 1 kΩC = 0,1 µFV_sat = ±12 Vt = 0,5 ms

V_out = V

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 80 ms.

V_s = 10 VR₁ = 1 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 100 µFt = 80 ms

v_C = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 1000 ms.

V_s = 12 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 10 kΩC = 47 µFt = 1000 ms

v_C = V

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

9.DC-DC перетворювачіСередня

Ідеальний знижувальний перетворювач перетворює 36 V на 27 V на частоті 500 kHz при L = 150 µH. Знайдіть розмах струму пульсацій котушки ΔI_L.

Vin = 36 VVo = 27 Vf = 500 kHzL = 150 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC перетворювачіСкладна

Знижувальний перетворювач перетворює 24 V на 14,4 V на частоті 100 kHz при L = 22 µH. Знайдіть вихідну ємність C, за якої розмах пульсацій вихідної напруги обмежується 5 mV.

Vin = 24 VVo = 14,4 Vf = 100 kHzL = 22 µHΔV_o = 5 mV

C = µF

11.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Міст із чотирма плечима по 350 Ω живиться від 9 V. Коли датчик R₂ змінюється, вихід показує V_ab = 44,55 mV. Знайдіть точну зміну ΔR опору R₂.

V_s = 9 VR = 350 ΩV_ab = 44,55 mV

ΔR = Ω

12.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Міст із плечима по 120 Ω живиться від 10 V і має один активний тензорезистор (чвертьміст). Коефіцієнт тензочутливості — 2,12, деформація — 1200 µε. Знайдіть вихід мосту V_o у mV.

V_s = 10 VGF = 2,12ε = 1200 µε

V_o = mV

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Скористайтеся картою Карно, щоб знайти мінімальну форму добутку сум (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 14). Скільки доданків-сум (множників) N вона має?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 14)

N =

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

Для F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 7, 9, 11, 13, 14, 15) + d(5, 8), де d позначає байдужі стани, знайдіть кількість N суттєвих простих імплікант.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 7, 9, 11, 13, 14, 15) + d(5, 8)

N =

3Розчини

1.Діоди й транзистори

Відповідь: R = 1200 Ω

Кола зі світлодіодами та діодами: світлодіод, увімкнений у прямому напрямку, має падіння напруги приблизно V_F (близько 2 В для червоного, 3 В для синього чи білого) незалежно від струму. Послідовний резистор задає струм: R = (V_s − n·V_F)/I для n світлодіодів послідовно. За точнішою моделлю діода V = V₀ + I·r_d робоча точка лежить там, де пряма діода перетинає лінію навантаження I = (V_s − V)/R, тож I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Напруга на резисторі

V_R = 12 − 2·3 = 6 V

Опір

R = 6/0,005 = 1200 Ω

Відповідь

R = 1200 Ω

Резистор розсіює 30 мВт.

2.Діоди й транзистори

Відповідь: I_C = 10,42 mA

БТ як ключ: щоб повністю ввімкнути навантаження, транзистор переводять у насичення, де V_CE = V_CE(sat), а струм колектора визначається навантаженням: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насичення потрібен струм бази щонайменше I_B = I_C(sat)/β. Якщо струм бази менший, транзистор залишається в активному режимі й I_C = β·I_B.

Струм бази

I_B = (5 − 0,7)/33 kΩ = 130,3 µA

Насичення чи активний режим?

β·I_B менше за I_C(sat), тож транзистор залишається в активному режимі.

β·I_B = 10,42 mA

I_C(sat) = (24 − 0,2)/100 = 238 mA

Струм колектора

I_C = β·I_B = 10,42 mA

Відповідь

I_C = 10,42 mA

Транзистор в активному режимі, тож навантаження ввімкнено не повністю.

3.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = −4 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на вході +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = −4·10/(100 + 10) = −0,3636 V

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊, і струм через R₁ тече також через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = −0,3636·(1 + 100/10) = −4 V

Відповідь

V_out = −4 V

4.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = 10,5 V

Вхідний струм і швидкість наростання

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

RC = 1 kΩ · 0,1 µF = 0,1 ms

швидкість наростання = −V_in/(RC) = −(−2,1)/0,1 = 21 V/ms

Вихідна напруга в заданий момент

Ідеальне значення лежить у межах ±V_sat, тож інтегратор ще не обмежує сигнал.

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−2,1)·0,5/0,1 = 10,5 V

Відповідь

V_out = 10,5 V

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 4,968 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·3,3/(1 + 3,3) = 0,7674 kΩ

v_C(∞) = 10·3,3/(1 + 3,3) = 7,674 V

Стала часу

τ = R_th·C = 0,7674·100 = 76,74 ms

Крива заряджання

v_C(t) = 7,674·(1 − e^−80/76,74) = 4,968 V

Відповідь

v_C = 4,968 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 0,8508 V

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 12·10/(6,8 + 10) = 7,143 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 10·47 = 470 ms

Розряджання

v_C(t) = 7,143·e^−1000/470 = 0,8508 V

Відповідь

v_C = 0,8508 V

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 9 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 12 + 12 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 8·24/(8+24) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 3 + 6 = 9 Ω

Відповідь

R_eq = 9 Ω

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,1891 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 2 + 6 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4,444 Ω

R₃ + 4,444 = 12,44 Ω

R₂ ∥ 12,44 = 1,723 Ω

R_eq = R₁ + 1,723 = 30 + 1,723 = 31,72 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/31,72 = 0,1891 A

Відповідь

I_R1 = 0,1891 A

9.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔI_L = 0,09 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний V_o = D·V_in, підвищувальний V_o = V_in/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |V_o| = V_in·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: V_in·I_in = V_o·I_o. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔI_L = V_L·D·T/L, де V_L = V_in − V_o для знижувального й V_in для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для знижувального й I_o·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔI_L/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 27/36 = 0,75

Напруга на котушці під час увімкненого стану

Поки S увімкнений, котушка опиняється між V_in і V_o.

V_L = 36 − 27 = 9 V

Струм пульсацій

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 9·0,75/(150·10⁻⁶·500·10³) = 0,09 A

Відповідь

ΔI_L = 0,09 A

10.DC-DC перетворювачі

Відповідь: C = 654,5 µF

Коефіцієнт заповнення

D = 14,4/24 = 0,6

Струм пульсацій котушки

ΔI_L = (24 − 14,4)·0,6/(22·10⁻⁶·100·10³) = 2,618 A

Ємність

C = 2,618/(8·100·10³·5·10⁻³) = 654,5 µF

Відповідь

C = 654,5 µF

11.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: ΔR = 6,999 Ω

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напруга вузла

V_a = 4,5 + 0,04455 = 4,545 V

Розв’язати дільник

R₂ = 350·4,545/(9 − 4,545) = 357 Ω

ΔR = 357 − 350 = 6,999 Ω

Відповідь

ΔR = 6,999 Ω

12.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_o = 6,36 mV

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Відносна зміна опору

ΔR/R = 2,12·1200·10⁻⁶ = 0,002544

Вихід мосту

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 10·0,002544/4 = 6,36 mV

Відповідь

V_o = 6,36 mV

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 3

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

Згрупуйте нулі

Кожна група — це прямокутник із 2ᵏ клітинок; крайні клітинки є сусідами клітинок на протилежному краї.

(B + C′ + D)

(A′ + D′)

(A′ + B)

Мінімальна форма POS

F = (B + C′ + D)(A′ + D′)(A′ + B)

N = 3

Відповідь

N = 3

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 4

Прості імпліканти

Найбільші групи, які можна утворити з одиниць і X.

BD, B′C′D′, AD, A′C′D′, A′B′D′, A′BC′, AB′C′, ABC

Суттєві прості імпліканти

BD, AD, A′B′D′, ABC

N = 4

Відповідь

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1