Вища математика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Матриці та визначники

визначник 2×2: det = ad − bc
Обернена матриця 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Власні значення: det(A − λI) = 0
Правило Крамера: x_i = det(A_i)/det(A)

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(4x² − 8x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 8x) − 2xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(2x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(2x)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·e^2x. Знайдіть f′(2).

f(x) = x·e^2xx = 2

f′(2) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = −x² − 5x − 4 у точці x = 3 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = −x² − 5x − 4x = 3

b =

5.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

6.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = x² і y = 3x.

y = x²y = 3x

A =

7.Комплексні числаСередня

Запишіть z = 2,5∠110° в алгебраїчній формі a + jb і дайте дійсну частину a.

r = 2,5θ = 110°

a =

8.Комплексні числаСкладна

Один із коренів z³ − 8z² + 37z − 50 = 0 дорівнює z₁ = 3 + j4. Коефіцієнти дійсні. Знайдіть дійсний корінь r.

z₁ = 3 + j4

r =

9.Диференціальні рівнянняСередня

Чашку кави температурою 80 °C залишили в кімнаті з температурою 23 °C. Через 21 min її температура становить 43 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 31 °C?

T₀ = 80 °CT_a = 23 °CT(21) = 43 °CT = 31 °C

t = min

10.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть y′ + 2y = 5e^−t при y(0) = 0. Знайдіть y(2).

y′ + 2y = 5e^−ty(0) = 0

y(2) =

11.Матриці та визначникиСередня

Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.

A = [1 3 0; 1 −1 −5; 3 −3 4]

det A =

12.Матриці та визначникиСкладна

Знайдіть більше власне значення λ поданої матриці A.

A = [5 −3; 7 −5]

λ =

13.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть кут θ між векторами a = (5, −4, −5) і b = (−4, −3, 4) у градусах.

a = (5, −4, −5)b = (−4, −3, 4)

θ = °

14.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (2, −5, −1), b = (−1, 3, −1) і c = (3, 0, 2).

a = (2, −5, −1)b = (−1, 3, −1)c = (3, 0, 2)

V =

15.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 6 осіб? Порядок не має значення.

n = 6k = 3

N =

16.ІмовірністьСкладна

Тестують 10 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 10p = 0,5

P =

17.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 59, 28, 60, 53, 55.

n = 5

s =

18.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 88?

μ = 100σ = 12x = 88

P =

19.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 114,6 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 114,6 s

P =

20.Нормальний розподілСкладна

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −2

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = −8x/(√(4x² − 8x) + 2x)

Поділіть на x

f(x) = −8/(√(4 + (−8)/x) + 2)

Нехай x → ∞

L = −8/(2 + 2) = −2

Відповідь

L = −2

2.Границі

Відповідь: L = 2,5

Правило Лопіталя

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[2·cos 2x]

Підставте x = 0

L = 5/2 = 2,5

Відповідь

L = 2,5

3.Похідні

Відповідь: f′(2) = 273

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

Підставте

f′(2) = 54,6·(1 + 4) = 273

Відповідь

f′(2) = 273

4.Похідні

Відповідь: b = 5

Точка і нахил

f(3) = −28

f′(x) = −2x − 5 → f′(3) = −11

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −28 − (−11)·3 = 5

Відповідь

b = 5

5.Інтеграли

Відповідь: I = 3,195

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^2x/2

Підставте межі

I = (e² − 1)/2 = (7,389 − 1)/2 = 3,195

Відповідь

I = 3,195

6.Інтеграли

Відповідь: A = 4,5

Точки перетину

x² = 3x → x = 0, x = 3

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [1,5x² − 0,3333x³]₀³ = 4,5

Відповідь

A = 4,5

7.Комплексні числа

Відповідь: a = −0,8551

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Складові

a = 2,5·cos(110°) = −0,8551

b = 2,5·sin(110°) = 2,349

Алгебраїчна форма

z = −0,8551 + j2,349

a = −0,8551

Відповідь

a = −0,8551

8.Комплексні числа

Відповідь: r = 2

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Спряжена пара

z₂ = 3 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 4²) = z² − 6z + 25

Винесіть квадратний множник

z³ − 8z² + 37z − 50 = (z² − 6z + 25)(z − 2)

Дійсний корінь

r = 2

Відповідь

r = 2

Перевірте сумою коренів: z₁ + z₂ + r = 6 + 2 = 8 = −(−8).

9.Диференціальні рівняння

Відповідь: t = 39,37 min

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Стала охолодження

k = ln(57/20)/21 = 0,04987 min⁻¹

Час до досягнення цільової температури

t = ln(57/8)/0,04987 = 39,37 min

Відповідь

t = 39,37 min

10.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(2) = 0,5851

Інтегрувальний множник

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 5e^t

Загальний розв’язок

y = 5/1·e^−t + C·e^−2t = 5·e^−t + C·e^−2t

Початкова умова

0 = 5 + C → C = −5

Обчисліть

y(2) = 5·0,1353 + (−5)·0,01832 = 0,5851

Відповідь

y(2) = 0,5851

11.Матриці та визначники

Відповідь: det A = −76

Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.

Мінори 2×2 першого рядка

M₁₁ = −19, M₁₂ = 19, M₁₃ = 0

Розклад за рядком

det A = 1·(−19) − 3·19 + 0·0 = −76

Відповідь

det A = −76

12.Матриці та визначники

Відповідь: λ = 2

Характеристичне рівняння

λ² − (0)λ + (−4) = 0

Розв’яжіть

λ = (0 ± √(16))/2 → λ = −2, 2

λ = 2

Відповідь

λ = 2

13.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: θ = 122,6 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 5·(−4) + (−4)·(−3) + (−5)·4 = −28

Модулі

|a| = √(5² + (−4)² + (−5)²) = 8,124

|b| = √((−4)² + (−3)² + 4²) = 6,403

Кут

cos θ = −28/(8,124·6,403) = −0,5383

θ = arccos(−0,5383) = 122,6°

Відповідь

θ = 122,6°

14.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 26

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·2 − (−1)·0 = 6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−1)·3 − (−1)·2 = −1

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−1)·0 − 3·3 = −9

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = 2·6 + (−5)·(−1) + (−1)·(−9) = 26

V = |26| = 26

Відповідь

V = 26

15.Імовірність

Відповідь: N = 20

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Відповідь

N = 20

16.Імовірність

Відповідь: P = 0,01074

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,5¹⁰ = 0,0009766

P(X = 1) = 10·0,5·0,5⁹ = 0,009766

Додайте

P = 0,0009766 + 0,009766 = 0,01074

Відповідь

P = 0,01074

17.Описова статистика

Відповідь: s = 13,17

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 255/5 = 51

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 8² + (−23)² + 9² + 2² + 4² = 694

Стандартне відхилення

s = √(694/4) = 13,17

Відповідь

s = 13,17

18.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = −1

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

19.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (114,6 − 105)/6,403 = 1,5

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

20.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics