Вища математика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Матриці та визначники

визначник 2×2: det = ad − bc
Обернена матриця 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Власні значення: det(A − λI) = 0
Правило Крамера: x_i = det(A_i)/det(A)

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^2x. Дайте десяткове значення.

f(x) = (1 + 1/x)^2xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x²·e^2x. Знайдіть f′(2).

f(x) = x²·e^2xx = 2

f′(2) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 2x² − 3 у точці x = 2 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 2x² − 3x = 2

b =

5.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

6.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 9 − x² і віссю x.

y = 9 − x²

A =

7.Комплексні числаСередня

Нехай z₁ = 1,5∠30° і z₂ = 2∠−25°; знайдіть дійсну частину w = z₁/z₂.

z₁ = 1,5∠30°z₂ = 2∠−25°

Re(w) =

8.Комплексні числаСкладна

Скористайтеся формулою Муавра, щоб знайти уявну частину z³ для z = 2 + j2.

z = 2 + j2n = 3

Im(z³) =

9.Диференціальні рівнянняСередня

Кувану сталеву деталь температурою 380 °C залишили остигати в цеху з температурою 27 °C. Через 16 min її температура становить 213 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 313 °C?

T₀ = 380 °CT_a = 27 °CT(16) = 213 °CT = 313 °C

t = min

10.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть задачу Коші y′ + 3y/x = 3x² при x > 0, y(1) = 2. Знайдіть y(3).

y′ + 3y/x = 3x²y(1) = 2

y(3) =

11.Матриці та визначникиСередня

Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.

A = [−1 0 −5; 1 5 −1; −4 0 3]

det A =

12.Матриці та визначникиСкладна

Знайдіть більше власне значення λ поданої матриці A.

A = [3 6; −7 −10]

λ =

13.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (0, 7, −1) на b = (5, −4, 0), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (0, 7, −1)b = (5, −4, 0)

comp_b a =

14.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Для a = (5, 0, −1) і b = (4, 3, 2) знайдіть y-компоненту (a × b)_y векторного добутку a × b.

a = (5, 0, −1)b = (4, 3, 2)

(a × b)_y =

15.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 13 осіб? Порядок не має значення.

n = 13k = 3

N =

16.ІмовірністьСкладна

Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,6, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 7p = 0,6k = 5

P =

17.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 11, 59, 35, 13, 13.

n = 5

s =

18.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 104,8?

μ = 100σ = 8x = 104,8

P =

19.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 30,8 min. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30,8 min

P =

20.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 85% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 7,389

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Візьміть логарифм

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 1/x)

Обчисліть

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, тож x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·1 = 2

Позбудьтеся логарифма

L = e² = 7,389

Відповідь

L = 7,389

2.Границі

Відповідь: L = 0,5

Перше застосування

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Друге застосування

1·e^x/2

Підставте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Відповідь

L = 0,5

3.Похідні

Відповідь: f′(2) = 655,2

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

Підставте

f′(2) = 54,6·(4 + 8) = 655,2

Відповідь

f′(2) = 655,2

4.Похідні

Відповідь: b = −11

Точка і нахил

f(2) = 5

f′(x) = 4x → f′(2) = 8

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − 8·2 = −11

Відповідь

b = −11

5.Інтеграли

Відповідь: I = 2,333

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Заміна змінної

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Проінтегруйте й підставте межі

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Відповідь

I = 2,333

6.Інтеграли

Відповідь: A = 36

Нулі

9 − x² = 0 → x = ±3

Інтегруйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Відповідь

A = 36

7.Комплексні числа

Відповідь: Re(w) = 0,4302

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Модуль і аргумент w

|w| = 1,5 / 2 = 0,75

θ = 30° − (−25)° = 55°

Алгебраїчна форма

Re(w) = 0,75·cos(55°) = 0,4302

Im(w) = 0,75·sin(55°) = 0,6144

Re(w) = 0,4302

Відповідь

Re(w) = 0,4302

8.Комплексні числа

Відповідь: Im(z³) = 16

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Полярна форма

z = 2 + j2 = 2√2∠45°

Муавр

z³ = (2√2)³∠135° = 22,63∠135°

Алгебраїчна форма

z³ = 22,63·(cos 135° + j sin 135°) = −16 + j16

Im(z³) = 16

Відповідь

Im(z³) = 16

9.Диференціальні рівняння

Відповідь: t = 5,256 min

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Стала охолодження

k = ln(353/186)/16 = 0,04005 min⁻¹

Час до досягнення цільової температури

t = ln(353/286)/0,04005 = 5,256 min

Відповідь

t = 5,256 min

10.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(3) = 13,56

Інтегрувальний множник

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Інтегруйте

(x³y)′ = 3x⁵ → x³y = 3x⁶/6 + C

Початкова умова

2 = 3/6 + C → C = 1,5

Обчисліть

y(3) = (3·3⁶/6 + 1,5)/3³ = 13,56

Відповідь

y(3) = 13,56

11.Матриці та визначники

Відповідь: det A = −115

Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.

Мінори 2×2 першого рядка

M₁₁ = 15, M₁₂ = −1, M₁₃ = 20

Розклад за рядком

det A = (−1)·15 − 0·(−1) + (−5)·20 = −115

Відповідь

det A = −115

12.Матриці та визначники

Відповідь: λ = −3

Характеристичне рівняння

λ² − (−7)λ + (12) = 0

Розв’яжіть

λ = (−7 ± √(1))/2 → λ = −4, −3

λ = −3

Відповідь

λ = −3

13.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = −4,373

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 0·5 + 7·(−4) + (−1)·0 = −28

Довжина b

|b| = √(5² + (−4)² + 0²) = 6,403

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = −28/6,403 = −4,373

Відповідь

comp_b a = −4,373

Від’ємна: a має компоненту, напрямлену проти b.

14.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: (a × b)_y = −14

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток покомпонентно

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·2 − (−1)·3 = 3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·4 − 5·2 = −14

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·3 − 0·4 = 15

Потрібна компонента

(a × b)_y = −14

Відповідь

(a × b)_y = −14

Перевірка: a × b перпендикулярний до обох векторів, тож його скалярний добуток з a і з b дорівнює нулю.

15.Імовірність

Відповідь: N = 286

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286

Відповідь

N = 286

16.Імовірність

Відповідь: P = 0,2613

Біноміальна формула

P(X = 5) = 21·0,6⁵·0,4² = 21·0,07776·0,16 = 0,2613

Відповідь

P = 0,2613

17.Описова статистика

Відповідь: s = 20,81

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 131/5 = 26,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−15,2)² + 32,8² + 8,8² + (−13,2)² + (−13,2)² = 1733

Стандартне відхилення

s = √(1733/4) = 20,81

Відповідь

s = 20,81

18.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7257

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Відповідь

P = 0,7257

19.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6844

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844

Відповідь

P = 0,6844

20.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 542 h

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,85

z з таблиці

z ≈ 1,04

Назад до початкових одиниць

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Відповідь

x = 542 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics