Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що зростає від нуля в A до 4 kN/m у B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 6 mw₀ = 4 kN/m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3,5 m від A) і спирається на рухому опору в D (6 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 60 kN у 4 mw = 8 kN/m від 3,5 до 6 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓G: 25 kN ↓H: 10 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

D: 40 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 4 m12 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

30 kN @ 12 m6 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 8 mP = 65 kN у 4 m

R_B = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 180 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 6,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 4 m має C_c = 0,4, C_r = 0,03 і e₀ = 0,7. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 55 kPa і тиск попереднього ущільнення 165 kPa. Нова будівля додає 20 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 4 mC_c = 0,4C_r = 0,03e₀ = 0,7σ′₀ = 55 kPaσ′_p = 165 kPaΔσ = 20 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 6,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 3 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 80% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,567. За скільки років t шар досягне 80% консолідації?

H = 6,5 mc_v = 3 m²/рікU = 80%T_v = 0,567однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2 m/s горизонтальною трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 200 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 2). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (необроблений бетон) має ширину 2,5 m. Вода тече рівномірно з глибиною 1,6 m. n Маннінга = 0,014, ухил дна S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2,5 my = 1,6 mn = 0,014S = 0,004

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 300 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 1,2 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 30 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 10 m, а його вал споживає 4,1 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 30 L/sH = 10 mP_shaft = 4,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 75 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 33 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 72%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 75 L/sΔz = 33 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 7 років вам потрібно €15 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €15 0006% / 12n = 7

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €2 000 на початку кожного року протягом 29 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 5 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 29? Знайдіть FV.

A = €2 000i = 5%n = 29

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €29 000, €22 000, €30 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 29 000CF₂ = 22 000CF₃ = 30 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €3 500, €5 000, €5 500, €5 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 8 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 8%CF₀ = −10 000CF₁ = 3 500CF₂ = 5 000CF₃ = 5 500CF₄ = 5 500

MIRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,6406. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,6406

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 75%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 4 kN

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·4

R_B = 8 kN

R_A = 12 − 8 = 4 kN

Відповідь

R_A = 4 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 203 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 8·2,5 = 20 kN у 1,25 m від C

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 60·0,5 + 20·1,25

R_D = 22 kN

V_C = 80 − 22 = 58 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 58 = 58 kN

M_A = 58·3,5 = 203 kN·m

Відповідь

M_A = 203 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 63,33 kN (T), BC: 80 kN (T), CD: 80 kN (T), DE: 63,33 kN (T), FG: 63,33 kN (C), GH: 63,33 kN (C), AF: 79,17 kN (C), HE: 79,17 kN (C), BF: 12,5 kN (T), CG: 0, DH: 37,5 kN (T), BG: 20,83 kN (C), DG: 20,83 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 3,75 kN (T), BC: 3,75 kN (T), CD: 31,25 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 57,5 kN (C), AF: 47,92 kN (C), HE: 52,08 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 47,92 kN (T), HC: 2,083 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: BF

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 31 kN, R₂ = 62 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 31, M_C = 62, M_D = 87, M_E = 100 kN·m, M_F = 56, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 100 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 9 kN, R₂ = 69 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 6, M_C = −12, M_D = −54, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −120 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,003655 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 8·5000³/(24·1,14 × 10¹³) = 0,003655 rad

Відповідь

θ_A = 0,003655 rad

Це 0,2094°.

8.Прогин балки

Відповідь: R_B = 20,31 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·65/16 = 20,31 kN

Відповідь

R_B = 20,31 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 8,225 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/4000² = 8225 N = 8,225 kN

Відповідь

P_cr = 8,225 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 49,35 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/12,5 = 200

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Відповідь

σ_cr = 49,35 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 335,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (45000·150 − 1963·180)/(45000 − 1963) = 148,6 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·300³/12 + 45000·1,369² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·31,37² = 2,239 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 335,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 335,3 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 18,53 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

стінка: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·272,5 + 3640·130)/6140 = 188 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·25³/12 + 2500·(272,5 − 188)² = 1,797 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·260³/12 + 3640·(130 − 188)² = 3,276 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,797 × 10⁷ + 3,276 × 10⁷ = 5,073 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 188 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·188/5,073 × 10⁷ = 18,53 MPa

Відповідь

σ_низ = 18,53 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 58,69 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 20,5·1 = 68,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 68,5 − 9,81 = 58,69 kPa

Відповідь

σ′ = 58,69 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 53,96 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Відповідь

u = 53,96 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 9,508 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 55 + 20 = 75 kPa ≤ 165 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·4/(1 + 0,7)·log₁₀(75/55) = 9,508 mm

Відповідь

S = 9,508 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 7,985 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 6,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·6,5²/3 = 7,985 роки

Відповідь

t = 7,985 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 22,07 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·1,5 = 22,07 kN

Відповідь

F = 22,07 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 5,349 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·3,75 = 193,1 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 1,953/(5,25·3,75) = 5,349 m

Відповідь

y_cp = 5,349 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 200 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,3)·2²/(2·9,81) = 20,39 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·20,39 = 200000 Pa = 200 kPa

Відповідь

Δp = 200 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 2,041 m

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·200/0,2 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 20 + 3,7)·0,08263 = 2,041 m

Відповідь

H = 2,041 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 14,27 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 2,5·1,6 = 4 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,6 = 5,7 m

R = A/P = 0,7018 m

Швидкість

V = (1/0,014)·0,7018^2/3·0,004^1/2 = 3,567 m/s

Витрата

Q = A·V = 4·3,567 = 14,27 m³/s

Відповідь

Q = 14,27 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,007694 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,1778)² = 0,007694

Відповідь

S = 0,007694

Це зниження на 7,694 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 71,78 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·10 = 2,943 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 2,943/4,1 = 71,78%

Відповідь

η = 71,78%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 42,03 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,2905 = 8,134 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 33 + 8,134 = 41,13 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·41,13/0,72 = 42,03 kW

Відповідь

P_shaft = 42,03 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 9866 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·7 = 84

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,52 = €9 866,02

Відповідь

PV = €9 866,02

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 130878 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,05)²⁹ − 1)/0,05 = 62,32

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 2 000·62,32·1,05 = €130 877,70

Відповідь

FV = €130 877,70

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −2873 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 29 000/1,06 = 27 358,49

CF₂/(1 + 0,06)² = 22 000/1,124 = 19 579,92

CF₃/(1 + 0,06)³ = 30 000/1,191 = 25 188,58

Додайте

NPV = €−2 873,01

Відповідь

NPV = €−2 873,01

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 21,34 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

3 500·1,08³ = 4 408,99

5 000·1,08² = 5 832,00

5 500·1,08¹ = 5 940,00

5 500·1,08⁰ = 5 500,00

TV = 21 680,99

MIRR

MIRR = (21 680,99/10 000)^1/4 − 1 = 21,34%

Відповідь

MIRR = 21,34%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,36

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,6406 = 0,3594

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,3594 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,36

Відповідь

z = −0,36

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 110,1 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 балів

Відповідь

x = 110,12 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil