Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що спадає від 20 kN/m в A до нуля в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 10 mw₀ = 20 kN/m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3 m від A) і спирається на рухому опору в D (10 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 5 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 3 mAD = 10 mP = 80 kN у 5 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 20 kN ↓D: 25 kN ↓F: 15 kN ↓H: 35 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN ←

F_AC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 5,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 2 kN/m від 0 до 10 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 40 kN у 4,5 mw = 12 kN/m від 0 до 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 4 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 4 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 50 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 2,5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 50 mm

h_req = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 144 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 130 mm і товщиною 16 mm, повну висоту 380 mm і стінку товщиною 10 mm. Він сприймає згинальний момент 40 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σ_max у перерізі.

B = 130 mmH = 380 mmt_f = 16 mmt_w = 10 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15,5 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 8,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 5,5 m має C_c = 0,3, C_r = 0,05 і e₀ = 0,85. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 110 kPa і тиск попереднього ущільнення 200 kPa. Нова будівля додає 20 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 5,5 mC_c = 0,3C_r = 0,05e₀ = 0,85σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 200 kPaΔσ = 20 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 19 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 5 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 5 m. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 19 mmt_lab = 5 minH = 5 mприродний шар: двобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 0,8 m/s трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 0,8 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Поверхня води у верхньому резервуарі на 8 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 8 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 300 mm працює повністю заповненим (як відкритий канал, не під тиском). n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) з шириною по дну 1 m і закладанням укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 8,7 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,2 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 8,7 m³/sb = 1 my = 1,2 mz = 2n = 0,022

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 65% подає 100 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 64 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 100 L/sH = 64 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 120 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 12 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 250 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 120 L/sΔz = 12 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 5p_tank = 250 kPa

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €3 000 наприкінці кожного року протягом 13 років. Процентна ставка 5 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €3 000i = 5%n = 13

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €25 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 3 років під 3 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €25 0003% / 12N = 36

I = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €40 000. Він приносить €12 500 наприкінці кожного року протягом 4 років, а потім його можна продати за €8 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €40 000CF = €12 500S = €8 000n = 4r = 12%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €21 000, €24 500, €20 000 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 12 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 21 000CF₂ = 24 500CF₃ = 20 000

MIRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,6915. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,6915

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 66,67 kN

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·20·10 = 100 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 100·3,333

R_B = 33,33 kN

R_A = 100 − 33,33 = 66,67 kN

Відповідь

R_A = 66,67 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 171,4 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·7 = 80·2

R_D = 22,86 kN

V_C = 80 − 22,86 = 57,14 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 57,14 = 57,14 kN

M_A = 57,14·3 = 171,4 kN·m

Відповідь

M_A = 171,4 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 55 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 71,67 kN (T), DE: 71,67 kN (T), FG: 63,33 kN (C), GH: 63,33 kN (C), AF: 68,75 kN (C), HE: 89,58 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 10,42 kN (T), HC: 10,42 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 3,75 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·1 − 15·2 → C_y = 2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 2,5 = 37,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2,5/0,5547 = −4,507 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−4,507)·0,8321 = 3,75 kN

Відповідь

F_AC = 3,75 kN (розтяг)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 24,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Розріжте в x = 5,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 10·5,5 − 2·5,5·2,75 = 24,75 kN·m

Відповідь

M_x = 24,75 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 85,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·4,5 + 12·6·3

R_B = 396/6 = 66 kN

ΣF_y = 0: R_A = 112 − 66 = 46 kN

Розріжте в x = 4,5 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 46·4,5 − 12·4,5·2,25 = 85,5 kN·m

Відповідь

M_x = 85,5 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 2,51 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 4000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·4000²·1000²/(3·1,7 × 10¹²·5000) = 2,51 mm

Відповідь

δ_P = 2,51 mm

8.Прогин балки

Відповідь: h_req = 190,4 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,876 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·2,876 × 10⁷/50)^1/3 = 190,4 mm

Відповідь

h_req = 190,4 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 69,09 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1500² = 69087 N = 69,09 kN

Відповідь

P_cr = 69,09 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 6,12 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/6,25 = 336

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/336² = 6,12 MPa

Відповідь

σ_cr = 6,12 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·120 − 1257·144)/(36000 − 1257) = 119,1 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·240³/12 + 36000·0,8681² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·24,87² = 0,9028 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_max = 43,93 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 380 − 2·16 = 348 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·380³ − 120·348³)/12

I_x = 1,73 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 190 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·190/1,73 × 10⁸ = 43,93 MPa

Відповідь

σ_max = 43,93 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 72,57 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·3 + 18,5·3 = 102 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 102 − 29,43 = 72,57 kPa

Відповідь

σ′ = 72,57 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 87,73 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16·2 + 20·3 + 17·3,5 = 151,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6,5 = 63,77 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 151,5 − 63,77 = 87,73 kPa

Відповідь

σ′ = 87,73 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 10,78 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 110 + 20 = 130 kPa ≤ 200 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·5,5/(1 + 0,85)·log₁₀(130/110) = 10,78 mm

Відповідь

S = 10,78 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 240,5 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 5/2 = 2,5 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 5·(2,5/0,0095)² = 346260 min

t_field = 346260/1440 = 240,5 днів

Відповідь

t = 240,5 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 176,6 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN

Відповідь

F = 176,6 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 45,25 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,5·3 = 45,25 kN

Відповідь

F = 45,25 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 0,4893 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 0,8²/(2·9,81) = 0,03262 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,2)·0,8²/(2·9,81) = 0,4893 m

Відповідь

h_f = 0,4893 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 105 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·300/0,25 = 21,6

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

8 = (21,6 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·8/34,3) = 2,139 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 2,139·0,04909 = 0,105 m³/s = 105 L/s

Відповідь

Q = 105 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,06838 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,005^1/2 = 0,9673 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,07069·0,9673 = 0,06838 m³/s

Відповідь

Q = 0,06838 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,003983 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·1,2)·1,2 = 4,08 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,2·√(1 + 2²) = 6,367 m

R = A/P = 0,6408 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·8,7/(4,08·0,7433) = 0,06311

S = 0,06311² = 0,003983

Відповідь

S = 0,003983

Це зниження на 3,983 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 96,59 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·64 = 62,78 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 62,78/0,65 = 96,59 kW

Відповідь

P_shaft = 96,59 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 41,2 m

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,2 + 5)·0,3046 = 3,716 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 12 + 25,48 + 3,716 = 41,2 m

Відповідь

H = 41,2 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 28181 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5303)/0,05 = 9,394

Теперішня вартість

PV = 3 000·9,394 = €28 180,72

Відповідь

PV = €28 180,72

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 1173 €

Щомісячний платіж

i = 0,0025, N = 36

A = 25 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻³⁶) = €727,03

Усього відсотків

I = N·A − P = 36·727 − 25 000 = €1 173,09

Відповідь

I = €1 173,09

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 3051 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

12 500·3,037 = 37 966,87

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

8 000/1,574 = 5 084,14

NPV

NPV = −40 000 + 37 966,87 + 5 084,14 = €3 051,01

Відповідь

NPV = €3 051,01

28.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 13,85 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

21 000·1,12² = 26 342,40

24 500·1,12¹ = 27 440,00

20 000·1,12⁰ = 20 000,00

TV = 73 782,40

MIRR

MIRR = (73 782,40/50 000)^1/3 − 1 = 13,85%

Відповідь

MIRR = 13,85%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,5

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,3085 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,50

Відповідь

z = −0,50

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 58,26 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 балів

Відповідь

x = 58,26 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil