Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 1 m від A і зосередженим моментом M, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані 1,5 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 5 mP = 35 kN у 1 mM = 60 kN·m (за годинниковою стрілкою) у 1,5 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (4 m від A) і спирається на рухому опору в D (8 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 5 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 4 mAD = 8 mP = 15 kN у 5 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 15 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 10 kN ↓D: 20 kN ↓F: 25 kN ↓H: 35 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 50 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 3 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mM₀ = 50 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 3 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 6 m55 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 50 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 50 mm

h_req = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 10 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 10 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 150 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 144 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 240 mmвиріз: 50 × 50 mmцентр отвору: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 2,5 m має C_c = 0,25, C_r = 0,05 і e₀ = 1. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 80 kPa і тиск попереднього ущільнення 200 kPa. Нова будівля додає 55 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 2,5 mC_c = 0,25C_r = 0,05e₀ = 1σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 200 kPaΔσ = 55 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 8,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 0,5 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 60% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,287. За скільки років t шар досягне 60% консолідації?

H = 8,5 mc_v = 0,5 m²/рікU = 60%T_v = 0,287однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,1 m/s горизонтальною трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,1 m/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 100 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Поверхня води у верхньому резервуарі на 38 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 38 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 450 mm працює повністю заповненим (як відкритий канал, не під тиском). n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (цегляна кладка) шириною 5 m має пропускати 10 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,8 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 10 m³/sb = 5 my = 0,8 mn = 0,015

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 10 m. ККД насоса 82%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 88%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 60 L/sH = 10 mη_pump = 82%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 6 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 100 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 15 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €5 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 3,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €5 000g = 1,5%r = 3,5%

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 27 років. Рахунок дає 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €503% / 12N = 324

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €8 000, €6 000, €6 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 6 000CF₃ = 6 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €3 500, €4 000, €3 500, €5 000 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 12 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 3 500CF₂ = 4 000CF₃ = 3 500CF₄ = 5 000

MIRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,7580. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7580

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 16 kN

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 35·1 − 60 = 0

R_B = 95/5 = 19 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 35 − 19 = 16 kN

Відповідь

R_A = 16 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 45 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 15·1

R_D = 3,75 kN

V_C = 15 − 3,75 = 11,25 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 11,25 = 11,25 kN

M_A = 11,25·4 = 45 kN·m

Відповідь

M_A = 45 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −11,72 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·3 → C_y = 5,625 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 5,625 = 9,375 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9,375/0,8 = −11,72 kN

Відповідь

F_AB = −11,72 kN (стиск)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 15,42 kN (T), BC: 19,17 kN (T), CD: 19,17 kN (T), DE: 22,92 kN (T), FG: 50,42 kN (C), GH: 57,92 kN (C), AF: 63,02 kN (C), HE: 28,65 kN (C), BF: 12,81 kN (T), CG: 0, DH: 17,19 kN (T), BG: 4,687 kN (C), DG: 4,687 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 20 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 50/5 = 10 kN (вгору)

R_A = −R_B = −10 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −10·3 + 50 = 20 kN·m

Відповідь

M_x = 20 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 0 kN, R₂ = 110 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 0, M_C = 0, M_D = −55, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −110 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 5,002 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·2,53 × 10¹¹) = 5,002 mm

Відповідь

δ = 5,002 mm

8.Прогин балки

Відповідь: h_req = 176,8 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,301 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·2,301 × 10⁷/50)^1/3 = 176,8 mm

Відповідь

h_req = 176,8 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 21,7 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·4000 = 8000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/8000² = 21704 N = 21,7 kN

Відповідь

P_cr = 21,7 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 33,36 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 33,36 mm

Відповідь

d = 33,36 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 239,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 334,9 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (45000·150 − 706,9·90)/(45000 − 706,9) = 151 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·300³/12 + 45000·−0,9575² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−60,96² = 2,666 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 334,9 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 334,9 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 170,7 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (36000·120 − 2500·144)/(36000 − 2500) = 118,2 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·240³/12 + 36000·1,791² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·50³/12 + 2500·25,79² = 2,184 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 170,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 170,7 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 56,76 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·1 + 20·4 = 96 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 96 − 39,24 = 56,76 kPa

Відповідь

σ′ = 56,76 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 56,45 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2

σ = 15·1 + 18,5·3 + 17,5·2 = 105,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 105,5 − 49,05 = 56,45 kPa

Відповідь

σ′ = 56,45 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 14,2 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 80 + 55 = 135 kPa ≤ 200 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·2,5/(1 + 1)·log₁₀(135/80) = 14,2 mm

Відповідь

S = 14,2 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 41,47 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 8,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·8,5²/0,5 = 41,47 роки

Відповідь

t = 41,47 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 156,3 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·3,75 = 156,3 kN

Відповідь

F = 156,3 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,633 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·4 = 86,33 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 1,333/(2,5·4) = 2,633 m

Відповідь

y_cp = 2,633 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 220,5 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,25)·2,1²/(2·9,81) = 22,48 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·22,48 = 220500 Pa = 220,5 kPa

Відповідь

Δp = 220,5 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 41,74 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·100/0,1 = 22

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

38 = (22 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·38/26,4) = 5,314 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 5,314·0,007854 = 0,04174 m³/s = 41,74 L/s

Відповідь

Q = 41,74 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,1275 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,002^1/2 = 0,8017 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,159·0,8017 = 0,1275 m³/s

Відповідь

Q = 0,1275 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,002742 m/m

Геометрія

A = b·y = 5·0,8 = 4 m²

P = b + 2y = 5 + 2·0,8 = 6,6 m

R = A/P = 0,6061 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·10/(4·0,7162) = 0,05236

S = 0,05236² = 0,002742

Відповідь

S = 0,002742

Це зниження на 2,742 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 8,157 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·10 = 5,886 kW

Потужність на валу

P_shaft = 5,886/0,82 = 7,178 kW

Електрична потужність

P_el = 7,178/0,88 = 8,157 kW

Відповідь

P_el = 8,157 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 31,62 m

Швидкість

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 8)·0,1859 = 15,43 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 10,19 + 15,43 = 31,62 m

Відповідь

H = 31,62 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 250000 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0,035 − 0,015) = 5 000/0,02 = €250 000,00

Відповідь

PV = €250 000,00

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 24913 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·27 = 324

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2,246 − 1)/0,0025 = €24 912,74

Відповідь

FV = €24 912,74

Самі ви внесли €16 200; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −3261 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 8 000/1,1 = 7 272,73

CF₂/(1 + 0,1)² = 6 000/1,21 = 4 958,68

CF₃/(1 + 0,1)³ = 6 000/1,331 = 4 507,89

Додайте

NPV = €−3 260,71

Відповідь

NPV = €−3 260,71

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 17,18 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

3 500·1,12³ = 4 917,25

4 000·1,12² = 5 017,60

3 500·1,12¹ = 3 920,00

5 000·1,12⁰ = 5 000,00

TV = 18 854,85

MIRR

MIRR = (18 854,85/10 000)^1/4 − 1 = 17,18%

Відповідь

MIRR = 17,18%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,7

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,7580 = 0,2420

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,2420 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,70

Відповідь

z = −0,70

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 41,87 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min

Відповідь

x = 41,87 min

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil