Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mP₁ = 50 kN у 2,5 mP₂ = 40 kN у 5 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mP = 55 kN у 4 mw = 8 kN/m від 1 до 6 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 25 kN ↓G: 15 kN ↓H: 40 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN →

F_AB = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 1 m35 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

35 kN @ 6 m15 kN @ 3 m4 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 5 mw = 4 kN/m

M_A = kN·m

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 55 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 55 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 120 mm і товщиною 22 mm, повну висоту 340 mm і стінку товщиною 8 mm. Він сприймає згинальний момент 30 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σ_max у перерізі.

B = 120 mmH = 340 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mmM = 30 kN·m

σ_max = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 4 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 3 m має C_c = 0,45, C_r = 0,02 і e₀ = 0,95. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 85 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 3. Нова будівля додає 90 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 3 mC_c = 0,45C_r = 0,02e₀ = 0,95σ′₀ = 85 kPaOCR = 3Δσ = 90 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 20 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 8 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 10 m. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 20 mmt_lab = 8 minH = 10 mприродний шар: двобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,2 m/s трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,2 m/sL = 500 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Поверхня води у верхньому резервуарі на 17 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 17 mL = 500 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (необроблений бетон) має ширину 2 m. Вода тече рівномірно з глибиною 2,3 m. n Маннінга = 0,014, ухил дна S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2 my = 2,3 mn = 0,014S = 0,004

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 450 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 1 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 36 m. ККД насоса 78%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 94%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 50 L/sH = 36 mη_pump = 78%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 25 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 10 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 100 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 25 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6p_tank = 100 kPa

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €10 000 під 6 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 8 років.

PV = €10 000r = 6%t = 8

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €500 наприкінці кожного місяця протягом 20 років. Рахунок дає 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €5003% / 12N = 240

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €400 000. Він приносить €29 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 1 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €29 000g = 1%r = 9%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €11 500, €10 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 10 500

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 24,8 і 33,5 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 24,8x₂ = 33,5

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 54,17 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2,5 + 40·5

R_B = 325/6 = 54,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 54,17 = 35,83 kN

Відповідь

R_B = 54,17 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 60 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·4 + 8·5·3,5

R_B = 360/6 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 60 = 35 kN

Відповідь

R_B = 60 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 36,25 kN (T), BC: 36,25 kN (T), CD: 43,75 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 47,5 kN (C), GH: 47,5 kN (C), AF: 51,27 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 15,91 kN (T), HC: 5,303 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = 5,657 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·4 + 15·4 → C_y = 44 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 44 = −4 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−4/0,7071 = 5,657 kN

Відповідь

F_AB = 5,657 kN (розтяг)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 35,83 kN, R₂ = 14,17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 35,83, M_C = 56,67 kN·m, M_D = 42,5, M_E = 28,33, M_F = 14,17, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 56,67 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 5 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 9 kN, R₂ = 61 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 7, M_C = 10, M_D = 9, M_E = −11, M_F = −35 kN·m, M_G = 0

Відповідь

Позначка F: M_F = −35 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,003175 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 20·4000³/(24·1,68 × 10¹³) = 0,003175 rad

Відповідь

θ_A = 0,003175 rad

Це 0,1819°.

8.Прогин балки

Відповідь: M_A = 12,5 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·5/8 = 7,5 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 50 − 37,5 = 12,5 kN·m

Відповідь

M_A = 12,5 kN·m

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 111 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2000² = 111033 N = 111 kN

Відповідь

P_cr = 111 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 28,27 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·750²/(π³·200000))^(1/4) = 28,27 mm

Відповідь

d = 28,27 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 106,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 5,886 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

стінка: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·115 + 1200·50)/8400 = 105,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·30³/12 + 7200·(115 − 105,7)² = 1,161 × 10⁶ mm⁴

стінка: 12·100³/12 + 1200·(50 − 105,7)² = 4,725 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,161 × 10⁶ + 4,725 × 10⁶ = 5,886 × 10⁶ mm⁴ = 5,886 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 5,886 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_max = 33,78 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 340 − 2·22 = 296 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·340³ − 112·296³)/12

I_x = 1,51 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 170 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·170/1,51 × 10⁸ = 33,78 MPa

Відповідь

σ_max = 33,78 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 53,38 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·2 + 20,5·2 = 73 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 73 − 19,62 = 53,38 kPa

Відповідь

σ′ = 53,38 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 65,14 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 15·1 + 18,5·2 + 18·4 = 124 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 124 − 58,86 = 65,14 kPa

Відповідь

σ′ = 65,14 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 9,65 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·85 = 255 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 85 + 90 = 175 kPa ≤ 255 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·3/(1 + 0,95)·log₁₀(175/85) = 9,65 mm

Відповідь

S = 9,65 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 1389 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 10/2 = 5 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 8·(5/0,01)² = 2 × 10⁶ min

t_field = 2 × 10⁶/1440 = 1389 днів

Відповідь

t = 1389 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 66,22 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3 = 66,22 kN

Відповідь

F = 66,22 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 49,05 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Відповідь

F = 49,05 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 24,67 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,2²/(2·9,81) = 0,2467 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,15)·2,2²/(2·9,81) = 24,67 m

Відповідь

h_f = 24,67 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 199 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·500/0,3 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

17 = (30 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·17/42,1) = 2,815 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 2,815·0,07069 = 0,199 m³/s = 199 L/s

Відповідь

Q = 199 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 16,34 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 2·2,3 = 4,6 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2,3 = 6,6 m

R = A/P = 0,697 m

Швидкість

V = (1/0,014)·0,697^2/3·0,004^1/2 = 3,551 m/s

Витрата

Q = A·V = 4,6·3,551 = 16,34 m³/s

Відповідь

Q = 16,34 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,003112 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,233)² = 0,003112

Відповідь

S = 0,003112

Це зниження на 3,112 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 24,08 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·36 = 17,66 kW

Потужність на валу

P_shaft = 17,66/0,78 = 22,64 kW

Електрична потужність

P_el = 22,64/0,94 = 24,08 kW

Відповідь

P_el = 24,08 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 21,83 m

Швидкість

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0,102 = 1,632 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 10,19 + 1,632 = 21,83 m

Відповідь

H = 21,83 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 16161 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,06·8 = 0,48

e^0,48 = 1,616

Майбутня вартість

FV = 10 000·1,616 = €16 160,74

Відповідь

FV = €16 160,74

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 164151 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·20 = 240

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,821 − 1)/0,0025 = €164 151,00

Відповідь

FV = €164 151,00

Самі ви внесли €120 000; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −37500 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 29 000/(0,09 − 0,01) = 362 500,00

NPV

NPV = 362 500,00 − 400 000 = −€37 500,00

Відповідь

NPV = −€37 500,00

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 6,702 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(5%) = 476,19

NPV(10%) = −867,77

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 5 + 5·476,19/(476,19 − (−867,77)) = 6,772%

точно: NPV(6,702%) = 0 → IRR = 6,702%

Відповідь

IRR = 6,702%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4836

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (24,8 − 32)/6 = −1,2

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Площа між

P = Φ(0,25) − Φ(−1,2) = 0,5987 − 0,1151 = 0,4836

Відповідь

P = 0,4836

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil