Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 10 mP₁ = 30 kN у 2 mP₂ = 40 kN у 4 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mP = 20 kN у 1 mw = 5 kN/m від 4 до 6 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →

F_AC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mP₁ = 75 kN у 1 mP₂ = 25 kN у 2 m

M_max = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 0 m35 kN @ 6 m10 kN @ 2 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 15 kNa = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 115 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 115 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 260 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 170 mm. Основа й полиці мають товщину 10 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 260 mmh = 170 mmt = 10 mm

ȳ = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 140 × 24 mm, стінку висотою 330 mm і товщиною 14 mm та нижню полицю 180 × 24 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 140 × 24 mmстінка: 14 × 330 mmнижня полиця: 180 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 10 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 5,5 m має C_c = 0,5, C_r = 0,05 і e₀ = 0,95. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 65 kPa і тиск попереднього ущільнення 185 kPa. Нова будівля додає 200 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 5,5 mC_c = 0,5C_r = 0,05e₀ = 0,95σ′₀ = 65 kPaσ′_p = 185 kPaΔσ = 200 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 9,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 2,5 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 60% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,287. За скільки років t шар досягне 60% консолідації?

H = 9,5 mc_v = 2,5 m²/рікU = 60%T_v = 0,287однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 0,9 m/s трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 0,9 m/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 300 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 5). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (чистий ґрунт) має ширину 5 m. Вода тече рівномірно з глибиною 2,1 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 5 my = 2,1 mn = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (оброблений бетон) з шириною по дну 2,5 m і закладанням укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 3,4 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,6 m. n Маннінга = 0,012. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 3,4 m³/sb = 2,5 my = 0,6 mz = 3n = 0,012

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 100 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 48 m, а його вал споживає 62,8 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 100 L/sH = 48 mP_shaft = 62,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 30 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 200 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 40 L/sΔz = 30 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 18 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 18%m = 4

EAR = %

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €10 000 через 16 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €10 0006% / 12N = 192

A = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €80 000. Він приносить €13 000 наприкінці кожного року протягом 7 років, а потім його можна продати за €20 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €80 000CF = €13 000S = €20 000n = 7r = 12%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €4 500, €6 500, €4 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 6 500CF₃ = 4 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 16 з них перевищує 196,8 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 16> 196,8 kg

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 22 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·2 + 40·4

R_B = 220/10 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 22 = 48 kN

Відповідь

R_B = 22 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 11,67 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·1 + 5·2·5

R_B = 70/6 = 11,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 11,67 = 18,33 kN

Відповідь

R_B = 11,67 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −49,19 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·1 → C_y = 11 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 11 = 44 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −44/0,8944 = −49,19 kN

Відповідь

F_AB = −49,19 kN (стиск)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 31,88 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 + 30·2 → C_y = 21,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 21,25 = 3,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21,25/0,5547 = −38,31 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−38,31)·0,8321 = 31,88 kN

Відповідь

F_AC = 31,88 kN (розтяг)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 75·1 + 25·2

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 25 = 75 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·1 = 75·1 = 75 kN·m

під P₂: M = R_B·3 = 25·3 = 75 kN·m

Найбільше значення

M_max = 75 kN·m (під P₁)

Відповідь

M_max = 75 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 34,67 kN, R₂ = 71,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −21,33, M_D = −39,67, M_E = −70 kN·m, M_F = −35, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −70 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 1,771 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 15000 N, a = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,2083 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0003125 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,771 mm

Відповідь

δ_B = 1,771 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·8000⁴/(384·70000·22,22) = 5,143 × 10⁸ mm⁴

I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 34,88 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·3000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34,88 kN

Відповідь

P_cr = 34,88 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 178,6 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·115000 = 345000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 178,6 mm

Відповідь

d = 178,6 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 224, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 51,9 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 260·10 = 2600 mm², y₁ = 5 mm

дві полиці: A₂ = 2·10·160 = 3200 mm², y₂ = 10 + 160/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (2600·5 + 3200·90)/5800 = 51,9 mm

Відповідь

ȳ = 51,9 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 280,6 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 3360 mm², y = 366 mm

стінка: A = 4620 mm², y = 189 mm

нижня полиця: A = 4320 mm², y = 12 mm

Центр ваги

ȳ = (3360·366 + 4620·189 + 4320·12)/12300 = 175,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 140·24³/12 + 3360·190,8² = 1,225 × 10⁸ mm⁴

стінка: 14·330³/12 + 4620·13,81² = 4,281 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 180·24³/12 + 4320·163,2² = 1,152 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,225 × 10⁸ + 4,281 × 10⁷ + 1,152 × 10⁸

I_x = 2,806 × 10⁸ mm⁴ = 280,6 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 280,6 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 108,8 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 18,5·7 = 177,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 177,5 − 68,67 = 108,8 kPa

Відповідь

σ′ = 108,8 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 111 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 16·1 + 19·2 + 19·3 = 111 kPa

Відповідь

σ = 111 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 284,2 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 65 + 200 = 265 kPa > 185 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,05·5,5/(1 + 0,95)·log₁₀(185/65) + 0,5·5,5/(1 + 0,95)·log₁₀(265/185)

S = 64,06 + 220,1 = 284,2 mm

Відповідь

S = 284,2 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 10,36 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 9,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·9,5²/2,5 = 10,36 роки

Відповідь

t = 10,36 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 58,86 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Відповідь

F = 58,86 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,889 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,75·3,75 = 121,4 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 1,953/(3,75·3,75) = 3,889 m

Відповідь

y_cp = 3,889 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 4,128 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,25)·0,9²/(2·9,81) = 4,128 m

Відповідь

h_f = 4,128 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 3,444 m

Швидкість

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·400/0,3 = 26,67

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 26,67 + 6,1)·0,102 = 3,444 m

Відповідь

H = 3,444 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 14,74 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 5·2,1 = 10,5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·2,1 = 9,2 m

R = A/P = 1,141 m

Швидкість

V = (1/0,022)·1,141^2/3·0,0008^1/2 = 1,404 m/s

Витрата

Q = A·V = 10,5·1,404 = 14,74 m³/s

Відповідь

Q = 14,74 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0008214 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·0,6)·0,6 = 2,58 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,6·√(1 + 3²) = 6,295 m

R = A/P = 0,4099 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·3,4/(2,58·0,5518) = 0,02866

S = 0,02866² = 0,0008214

Відповідь

S = 0,0008214

Це зниження на 0,8214 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 74,98 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·48 = 47,09 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 47,09/62,8 = 74,98%

Відповідь

η = 74,98%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 61,18 m

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33,33 + 8)·0,2611 = 10,79 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 30 + 20,39 + 10,79 = 61,18 m

Відповідь

H = 61,18 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 19,25 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,18/4 = 0,045

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,045)⁴ − 1 = 1,193 − 1 = 19,25%

Відповідь

EAR = 19,25%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 31,14 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·16 = 192

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0,005/(2,605 − 1) = €31,14

Відповідь

A = €31,14

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −11624 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

13 000·4,564 = 59 328,84

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

20 000/2,211 = 9 046,98

NPV

NPV = −80 000 + 59 328,84 + 9 046,98 = −€11 624,18

Відповідь

NPV = −€11 624,18

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 23,69 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(20%) = 578,70

NPV(25%) = −192,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 20 + 5·578,70/(578,70 − (−192,00)) = 23,75%

точно: NPV(23,69%) = 0 → IRR = 23,69%

Відповідь

IRR = 23,69%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 192 kg, σ_T = 0,8·√16 = 3,2 kg

Стандартизуйте

z = (196,8 − 192)/3,2 = 1,5

Імовірність

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 182,7 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm

Відповідь

x = 182,72 cm

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil