Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 6 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 10 mP = 60 kN у 6 mw = 2 kN/m від 0 до 10 m

M_A = kN·m

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 8 mP = 25 kN у 6 mw = 2 kN/m від 6 до 7 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 30 kN

F_BC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 7 m від Aвертикальне навантаження = 55 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →

F_BC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_x під силою P₁. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP₁ = 55 kN у 2,5 mP₂ = 50 kN у 6 mопори в x = 0 і x = 5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 35 kN у 3,5 mw = 8 kN/m від 0 до 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 45 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 45 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 60 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmцентр отвору: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 10 kN·m

σ_верх = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 11 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 5,5 m має C_c = 0,25, C_r = 0,03 і e₀ = 1,1. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 85 kPa і тиск попереднього ущільнення 175 kPa. Нова будівля додає 65 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 5,5 mC_c = 0,25C_r = 0,03e₀ = 1,1σ′₀ = 85 kPaσ′_p = 175 kPaΔσ = 65 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 7 m має коефіцієнт консолідації c_v = 1 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 80% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,567. За скільки років t шар досягне 80% консолідації?

H = 7 mc_v = 1 m²/рікU = 80%T_v = 0,567однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 1,9 m/s горизонтальною трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 1,9 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 200 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 0,2). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (цегляна кладка) має ширину 5,5 m. Вода тече рівномірно з глибиною 0,9 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 5,5 my = 0,9 mn = 0,015S = 0,002

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) з шириною по дну 3 m і закладанням укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 50 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,5 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 50 m³/sb = 3 my = 2,5 mz = 1n = 0,015

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 150 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 70 m, а його вал споживає 137,3 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 150 L/sH = 70 mP_shaft = 137,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 25 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 250 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 80 L/sΔz = 25 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5p_tank = 250 kPa

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 7 років вам потрібно €50 000. Рахунок дає 5 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €50 0005% / 12n = 7

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €250 наприкінці кожного місяця протягом 20 років. Рахунок дає 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €2504,8% / 12N = 240

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €4 000, €9 000, €7 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 9 000CF₃ = 7 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €20 000 приносить €5 500 наприкінці кожного року протягом 7 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €20 000CF = €5 500n = 7

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,2005. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,2005

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 460 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 2·10 = 20 kN, x̄ = 5 m

Момент відносно стіни

M_A = P·a + W·x̄ = 60·6 + 20·5 = 460 kN·m

Відповідь

M_A = 460 kN·m

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 6,625 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, прикладена в x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·6 + 2·1·6,5

R_B = 163/8 = 20,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 20,38 = 6,625 kN

Відповідь

R_A = 6,625 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −13,52 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·1 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 7,5 = 22,5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,5547 = −13,52 kN

Відповідь

F_BC = −13,52 kN (стиск)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −62,19 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·7 + 30·2 → C_y = 55,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 55,63 = −0,625 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Вузол C

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −55,63/0,8944 = −62,19 kN

Відповідь

F_BC = −62,19 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 43,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·2,5 + 50·6

R_B = 437,5/5 = 87,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 87,5 = 17,5 kN

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину

M_x = R_A·2,5 = 17,5·2,5 = 43,75 kN·m

Відповідь

M_x = 43,75 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 86,04 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3,5 + 8·6·3

R_B = 266,5/6 = 44,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 44,42 = 38,58 kN

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 38,58·3,5 − 8·3,5·1,75 = 86,04 kN·m

Відповідь

M_x = 86,04 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 12,92 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 12,92 mm

Відповідь

δ_max = 12,92 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 409,1 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·11000·11,11) = 4,091 × 10⁸ mm⁴

I_req = 409,1 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 409,1 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 38,59 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

Відповідь

P_cr = 38,59 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 83,57 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 83,57 mm

Відповідь

d = 83,57 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 167,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (60000·150 − 2827·120)/(60000 − 2827) = 151,5 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·300³/12 + 60000·−1,484² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−31,48² = 3,439 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 32,99 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

стінка: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·207,5 + 4000·100)/5500 = 129,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·15³/12 + 1500·(207,5 − 129,3)² = 9,197 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·200³/12 + 4000·(100 − 129,3)² = 1,677 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,197 × 10⁶ + 1,677 × 10⁷ = 2,597 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 215 − 129,3 = 85,68 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·85,68/2,597 × 10⁷ = 32,99 MPa

Відповідь

σ_верх = 32,99 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 113,9 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·1 + 19,5·10 = 212 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·10 = 98,1 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 212 − 98,1 = 113,9 kPa

Відповідь

σ′ = 113,9 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 81,02 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·4

σ = 15,5·1 + 19·4 + 17·4 = 159,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8 = 78,48 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 159,5 − 78,48 = 81,02 kPa

Відповідь

σ′ = 81,02 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 19,38 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 85 + 65 = 150 kPa ≤ 175 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·5,5/(1 + 1,1)·log₁₀(150/85) = 19,38 mm

Відповідь

S = 19,38 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 27,78 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 7 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·7²/1 = 27,78 роки

Відповідь

t = 27,78 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 82,77 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN

Відповідь

F = 82,77 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 155,4 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3·6 = 155,4 kN

Відповідь

F = 155,4 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 75,21 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,3)·1,9²/(2·9,81) = 7,666 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·7,666 = 75208 Pa = 75,21 kPa

Відповідь

Δp = 75,21 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 7,152 m

Швидкість

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·150/0,2 = 11,25

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 = 1,6

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 11,25 + 1,6)·0,5164 = 7,152 m

Відповідь

H = 7,152 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 11,39 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 5,5·0,9 = 4,95 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·0,9 = 7,3 m

R = A/P = 0,6781 m

Швидкість

V = (1/0,015)·0,6781^2/3·0,002^1/2 = 2,301 m/s

Витрата

Q = A·V = 4,95·2,301 = 11,39 m³/s

Відповідь

Q = 11,39 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001964 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·2,5)·2,5 = 13,75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2,5·√(1 + 1²) = 10,07 m

R = A/P = 1,365 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·50/(13,75·1,231) = 0,04432

S = 0,04432² = 0,001964

Відповідь

S = 0,001964

Це зниження на 1,964 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 75,02 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·70 = 103 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 103/137,3 = 75,02%

Відповідь

η = 75,02%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 55,85 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 5)·0,3305 = 5,371 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 25 + 25,48 + 5,371 = 55,85 m

Відповідь

H = 55,85 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 35260 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,05/12 = 0,004167

N = 12·7 = 84

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,418 = €35 260,03

Відповідь

PV = €35 260,03

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 100419 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·20 = 240

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,607 − 1)/0,004 = €100 418,76

Відповідь

FV = €100 418,76

Самі ви внесли €60 000; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −1980 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 4 000/1,05 = 3 809,52

CF₂/(1 + 0,05)² = 9 000/1,103 = 8 163,27

CF₃/(1 + 0,05)³ = 7 000/1,158 = 6 046,86

Додайте

NPV = €−1 980,35

Відповідь

NPV = €−1 980,35

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 19,68 %

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 20 000/5 500 = 3,636

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 19%: 3,706

i = 20%: 3,605

IRR = 19,68%

Відповідь

IRR = 19,68%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,84

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,2005 = 0,7995

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7995 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,84

Відповідь

z = 0,84

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9515

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Відповідь

P = 0,9515

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Метод

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод

Поперечна сила і згинальний момент

Метод

Прогин балки

Стійкість колон

Центр ваги й момент інерції

Ефективне напруження в ґрунті

Консолідаційне осідання

Гідростатична сила

Тертя в трубах і втрати напору

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Насоси й потужність насосів

Вартість грошей у часі

Метод

NPV і IRR

Метод

Нормальний розподіл

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Рівнодійна розподіленого навантаження

Момент відносно стіни

Відповідь

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Опорні реакції

Вузол C

Відповідь

Опорні реакції

Вузол C

Відповідь

Опорні реакції

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

Відповідь

Узгоджені одиниці

Прогин

Відповідь

Обмеження прогину

Потрібний момент інерції

Відповідь

Найменший момент інерції

Розрахункова довжина

Критична сила

Відповідь

Потрібна критична сила

Виразіть діаметр

Відповідь

Центр ваги

Суцільна пластина відносно ȳ

Отвір відносно ȳ

Відніміть

Відповідь

Поділіть на два прямокутники

Центр ваги

Теорема про паралельне перенесення осей

Напруження згину

Відповідь

Повне напруження

Поровий тиск

Ефективне напруження

Відповідь

Повне напруження

Поровий тиск

Ефективне напруження

Відповідь

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

Осідання

Відповідь

Шлях фільтрації

Час

Відповідь

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину