Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mP₁ = 40 kN у 1 mP₂ = 20 kN у 1,5 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mP = 25 kN у 2,5 mw = 4 kN/m від 0 до 2 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓G: 10 kN ↓H: 10 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 55 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN ←

F_AB = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_x під силою P₁. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9 mP₁ = 65 kN у 2 mP₂ = 30 kN у 9 mопори в x = 0 і x = 8 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть згинальний момент M_B на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5,5 mw = 12 kN/m від 0 до 5,5 mопори в x = 0 і x = 4 m

M_B = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 0,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 27 kNa = 0,5 mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1 m від опори B. Знайдіть прогин δ_mid посередині прольоту.

P = 29 kNb = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 120 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 52,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 150 mmвиріз: 40 × 30 mmцентр отвору: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 3 m має C_c = 0,3, C_r = 0,06 і e₀ = 0,9. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 110 kPa і тиск попереднього ущільнення 210 kPa. Нова будівля додає 35 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 3 mC_c = 0,3C_r = 0,06e₀ = 0,9σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 210 kPaΔσ = 35 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 5,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 1 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 70% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,403. За скільки років t шар досягне 70% консолідації?

H = 5,5 mc_v = 1 m²/рікU = 70%T_v = 0,403однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 75 L/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 75 L/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 100 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 15 L/s?

Q = 15 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 900 mm заповнений наполовину. n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 900 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (цегляна кладка) шириною 2 m має пропускати 8,8 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,2 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 8,8 m³/sb = 2 my = 2,2 mn = 0,015

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 50 m, а його вал споживає 30,2 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 40 L/sH = 50 mP_shaft = 30,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 14 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 20 L/sΔz = 14 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 5,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €8 000g = 1,5%r = 5,5%

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €250 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 30 років. Ставка — 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €250 0002,4% / 12N = 360

A = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €60 000. Він приносить €23 500 наприкінці кожного року протягом 3 років, а потім його можна продати за €15 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €60 000CF = €23 500S = €15 000n = 3r = 10%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €24 000, €27 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −40 000CF₁ = 24 000CF₂ = 27 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 12 з них перевищує 149,5 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12> 149,5 kg

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 14 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·1 + 20·1,5

R_B = 70/5 = 14 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 14 = 46 kN

Відповідь

R_B = 14 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 17,63 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, прикладена в x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2,5 + 4·2·1

R_B = 70,5/4 = 17,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 17,63 = 15,38 kN

Відповідь

R_B = 17,63 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 45 kN (T), BC: 43,33 kN (T), CD: 43,33 kN (T), DE: 28,33 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 28,33 kN (C), AF: 56,25 kN (C), HE: 35,42 kN (C), BF: 33,75 kN (T), CG: 0, DH: 11,25 kN (T), BG: 2,083 kN (T), DG: 18,75 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −65,97 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·1 − 25·4 → C_y = −9 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − −9 = 64 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −64/0,9701 = −65,97 kN

Відповідь

F_AB = −65,97 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 90 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 65·2 + 30·9

R_B = 400/8 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 50 = 45 kN

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину

M_x = R_A·2 = 45·2 = 90 kN·m

Відповідь

M_x = 90 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_B = −13,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·5,5 = 66 kN, прикладена в x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·5,5·2,75

R_B = 181,5/4 = 45,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 45,38 = 20,63 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

Навантаження на консолі, w·a, прикладене на відстані a/2 від B і вигинає балку над опорою опуклістю догори.

M_B = −w·a²/2 = −12·1,5²/2 = −13,5 kN·m

Відповідь

M_B = −13,5 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 1,54 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 27000 N, a = 500 mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,1339 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0004018 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,54 mm

Відповідь

δ_B = 1,54 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_mid = 68,41 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 29000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогин посередині прольоту

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 29000·1000·(3·5000² − 4·1000²)/(48·6,27 × 10¹¹) = 68,41 mm

Відповідь

δ_mid = 68,41 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 269,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269,2 kN

Відповідь

P_cr = 269,2 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 157,4 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/6,25 = 112

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/112² = 157,4 MPa

Відповідь

σ_cr = 157,4 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (18000·75 − 706,9·52,5)/(18000 − 706,9) = 75,92 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·150³/12 + 18000·−0,9197² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−23,42² = 0,4275 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 27,74 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (15000·75 − 1200·90)/(15000 − 1200) = 73,7 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·150³/12 + 15000·1,304² = 28,15 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·30³/12 + 1200·16,3² = 0,409 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 27,74 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 27,74 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 151 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·3 + 20·5 = 151 kPa

Відповідь

σ = 151 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 85,14 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 15·2 + 19,5·3 + 18,5·3 = 144 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 144 − 58,86 = 85,14 kPa

Відповідь

σ′ = 85,14 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 11,37 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 110 + 35 = 145 kPa ≤ 210 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·3/(1 + 0,9)·log₁₀(145/110) = 11,37 mm

Відповідь

S = 11,37 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 12,19 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 5,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·5,5²/1 = 12,19 роки

Відповідь

t = 12,19 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 117,7 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Відповідь

F = 117,7 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 103,6 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2·6 = 103,6 kN

Відповідь

F = 103,6 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 0,4759 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,25)·1,528²/(2·9,81) = 0,4759 m

Відповідь

h_f = 0,4759 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 5,838 m

Швидкість

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·150/0,1 = 27

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Сумарні втрати напору

h_f = 27·0,1859 = 5,02 m

h_m = 4,4·0,1859 = 0,818 m

Δz = h_f + h_m = 5,838 m

Відповідь

Δz = 5,838 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,64 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,3181 m², R = D/4 = 0,225 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,225^2/3·0,005^1/2 = 2,012 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,3181·2,012 = 0,64 m³/s

Відповідь

Q = 0,64 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001483 m/m

Геометрія

A = b·y = 2·2,2 = 4,4 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2,2 = 6,4 m

R = A/P = 0,6875 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·8,8/(4,4·0,779) = 0,03851

S = 0,03851² = 0,001483

Відповідь

S = 0,001483

Це зниження на 1,483 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 64,97 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·50 = 19,62 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 19,62/30,2 = 64,97%

Відповідь

η = 64,97%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 25,57 m

Швидкість

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 8)·0,3305 = 11,57 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 14 + 11,57 = 25,57 m

Відповідь

H = 25,57 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 200000 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,055 − 0,015) = 8 000/0,04 = €200 000,00

Відповідь

PV = €200 000,00

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 974,9 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·30 = 360

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,4871

A = 250 000·0,002/(1 − 0,4871) = €974,85

Відповідь

A = €974,85

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 9711 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

23 500·2,487 = 58 441,02

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

15 000/1,331 = 11 269,72

NPV

NPV = −60 000 + 58 441,02 + 11 269,72 = €9 710,74

Відповідь

NPV = €9 710,74

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 17,46 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(15%) = 1 285,44

NPV(20%) = −1 250,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 15 + 5·1 285,44/(1 285,44 − (−1 250,00)) = 17,53%

точно: NPV(17,46%) = 0 → IRR = 17,46%

Відповідь

IRR = 17,46%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,02385

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 144 kg, σ_T = 0,8·√12 = 2,771 kg

Стандартизуйте

z = (149,5 − 144)/2,771 = 1,98

Імовірність

P = 1 − Φ(1,98) = 0,02385

Відповідь

P = 0,02385

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8665

Розподіл різниці

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Відповідь

P = 0,8665

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Метод

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод

Поперечна сила і згинальний момент

Метод

Прогин балки

Стійкість колон

Центр ваги й момент інерції

Ефективне напруження в ґрунті

Консолідаційне осідання

Гідростатична сила

Тертя в трубах і втрати напору

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Насоси й потужність насосів

Вартість грошей у часі

Метод

NPV і IRR

Метод

Нормальний розподіл

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Вузол C

Перевірка методом вузлів

Відповідь

Опорні реакції

Вузол A

Відповідь

Опорні реакції

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Переріз у B, залишаємо консоль

Відповідь

Узгоджені одиниці

Прогин вільного кінця

Відповідь

Узгоджені одиниці

Прогин посередині прольоту

Відповідь

Найменший момент інерції

Розрахункова довжина

Критична сила

Відповідь

Найменший момент інерції

Радіус інерції і гнучкість

Критичне напруження

Відповідь

Центр ваги

Суцільна пластина відносно ȳ

Отвір відносно ȳ

Відніміть

Відповідь

Центр ваги

Суцільна пластина відносно ȳ

Отвір відносно ȳ

Відніміть

Відповідь

Повне напруження

Відповідь

Повне напруження

Поровий тиск

Ефективне напруження

Відповідь

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

Осідання

Відповідь

Шлях фільтрації

Час

Відповідь

Глибина центра ваги і площа

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину