Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 3 m і зосередженою силою P на відстані 1,5 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 4 mP = 35 kN у 1,5 mw = 6 kN/m від 0 до 3 m

M_A = kN·m

2.Опорні реакції балокСкладна

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4,5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 2,5 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 3 m до вільного кінця в 6 m. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 75 kN у 2,5 mw = 8 kN/m від 3 до 6 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

D: 30 kN ↓F: 40 kN ↓H: 20 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

D: 25 kN ↓F: 30 kN ↓F: 10 kN →

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 1 m від A. Знайдіть згинальний момент M_A у защемленні A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 3 mP = 10 kN у 1 mw = 4 kN/m від 0 до 3 m

M_A = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mP = 20 kN у 2 mw = 6 kN/m від 0 до 5 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 190 × 12 mm, стінку висотою 230 mm і товщиною 14 mm та нижню полицю 290 × 20 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 190 × 12 mmстінка: 14 × 230 mmнижня полиця: 290 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 8,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 4,5 m має C_c = 0,45, C_r = 0,04 і e₀ = 1. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 80 kPa і тиск попереднього ущільнення 110 kPa. Нова будівля додає 25 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 4,5 mC_c = 0,45C_r = 0,04e₀ = 1σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 110 kPaΔσ = 25 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 25 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 10 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 9,5 m. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 25 mmt_lab = 10 minH = 9,5 mприродний шар: однобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 4 L/s трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 50 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 4 L/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 300 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 5). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 300 mm працює повністю заповненим (як відкритий канал, не під тиском). n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,001. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (чистий ґрунт) шириною 3,5 m має пропускати 4,2 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,4 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 4,2 m³/sb = 3,5 my = 1,4 mn = 0,022

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 80% подає 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 36 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 15 L/sH = 36 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 120 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 15 m вища. Труба довжиною 600 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 80%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 120 L/sΔz = 15 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 4 років вам потрібно €25 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €25 0006% / 4n = 4

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €250 наприкінці кожного місяця протягом 5 років. Рахунок дає 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €2504,2% / 12N = 60

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €60 000, служить 6 років, а його експлуатація коштує €5 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €60 000M = €5 000n = 6r = 12%

EAC = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €7 000, €6 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 6 500

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Маси пасажири з багажем незалежні та нормальні із середнім 85 kg і середнім квадратичним відхиленням 12 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них перевищує 465,2 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 465,2 kg

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 79,5 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 6·3 = 18 kN, x̄ = 1,5 m

Момент відносно стіни

M_A = P·a + W·x̄ = 35·1,5 + 18·1,5 = 79,5 kN·m

Відповідь

M_A = 79,5 kN·m

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 33,33 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 8·3 = 24 kN, x̄ = (3 + 6)/2 = 4,5 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 75·2,5 + 24·4,5

R_B = 295,5/4,5 = 65,67 kN

R_A = 99 − 65,67 = 33,33 kN

Відповідь

R_A = 33,33 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 31,88 kN (T), BC: 33,75 kN (T), CD: 33,75 kN (T), DE: 35,62 kN (T), FG: 31,88 kN (C), GH: 35,62 kN (C), AF: 53,13 kN (C), HE: 59,37 kN (C), BF: 2,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 3,125 kN (C), DG: 3,125 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 36,25 kN (T), BC: 32,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 28,75 kN (T), FG: 36,25 kN (C), GH: 28,75 kN (C), AF: 37,12 kN (C), HE: 40,66 kN (C), BF: 3,75 kN (C), CG: 0, DH: 28,75 kN (T), BG: 5,303 kN (T), DG: 5,303 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_A = −28 kN·m

Залиште частину з вільним кінцем

P: −10·1 = −10 kN·m

w: −4·3²/2 = −18 kN·m

M_A = −10 − 18 = −28 kN·m

Відповідь

M_A = −28 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 42 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·2 + 6·5·2,5

R_B = 115/5 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 23 = 27 kN

Де V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 15 kN

V(2⁺) = 15 − 20 = −5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 27·2 − 6·2²/2 = 42 kN·m

Відповідь

M_max = 42 kN·m

Це в точці x = 2 m від A.

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,009 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 1,009 mm

Відповідь

δ_max = 1,009 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 9,04 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·3000⁴/(384·70000·8,333) = 9,04 × 10⁶ mm⁴

I_req = 9,04 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 9,04 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,109 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/5000² = 3109 N = 3,109 kN

Відповідь

P_cr = 3,109 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 197,4 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Відповідь

σ_cr = 197,4 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 88,99 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

стінка: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·315 + 4200·150)/8400 = 232,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·30³/12 + 4200·(315 − 232,5)² = 2,89 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·300³/12 + 4200·(150 − 232,5)² = 6,009 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,89 × 10⁷ + 6,009 × 10⁷ = 8,899 × 10⁷ mm⁴ = 88,99 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 88,99 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 120,6 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2280 mm², y = 256 mm

стінка: A = 3220 mm², y = 135 mm

нижня полиця: A = 5800 mm², y = 10 mm

Центр ваги

ȳ = (2280·256 + 3220·135 + 5800·10)/11300 = 95,25 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 190·12³/12 + 2280·160,7² = 5,894 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·230³/12 + 3220·39,75² = 1,928 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 290·20³/12 + 5800·85,25² = 4,235 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,894 × 10⁷ + 1,928 × 10⁷ + 4,235 × 10⁷

I_x = 1,206 × 10⁸ mm⁴ = 120,6 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 120,6 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 34,88 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·1 + 19·2 = 54,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 54,5 − 19,62 = 34,88 kPa

Відповідь

σ′ = 34,88 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 78,42 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16,5·1 + 19·4 + 17·3,5 = 152 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7,5 = 73,58 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 152 − 73,58 = 78,42 kPa

Відповідь

σ′ = 78,42 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 10,63 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 80 + 25 = 105 kPa ≤ 110 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·4,5/(1 + 1)·log₁₀(105/80) = 10,63 mm

Відповідь

S = 10,63 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 4011 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 9,5 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 10·(9,5/0,0125)² = 5,776 × 10⁶ min

t_field = 5,776 × 10⁶/1440 = 4011 днів

Відповідь

t = 4011 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 24,52 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1 = 24,52 kN

Відповідь

F = 24,52 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 25,14 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·1 = 25,14 kN

Відповідь

F = 25,14 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 11,85 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 11,85 m

Відповідь

h_f = 11,85 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 0,7115 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·100/0,3 = 5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 5 + 6,4)·0,05738 = 0,7115 m

Відповідь

H = 0,7115 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,03058 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,001^1/2 = 0,4326 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,07069·0,4326 = 0,03058 m³/s

Відповідь

Q = 0,03058 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0004971 m/m

Геометрія

A = b·y = 3,5·1,4 = 4,9 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1,4 = 6,3 m

R = A/P = 0,7778 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·4,2/(4,9·0,8457) = 0,0223

S = 0,0223² = 0,0004971

Відповідь

S = 0,0004971

Це зниження на 0,4971 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 6,622 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·36 = 5,297 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 5,297/0,8 = 6,622 kW

Відповідь

P_shaft = 6,622 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 41,79 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0,3046 = 13,4 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 15 + 13,4 = 28,4 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·28,4/0,8 = 41,79 kW

Відповідь

P_shaft = 41,79 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 19701 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·4 = 16

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,269 = €19 700,78

Відповідь

PV = €19 700,78

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 16659 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·5 = 60

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,233 − 1)/0,0035 = €16 658,99

Відповідь

FV = €16 658,99

Самі ви внесли €15 000; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 19594 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,12⁻⁶)/0,12 = 4,111

Ціна придбання, перерахована на рік

60 000/4,111 = 14 593,54

EAC

EAC = 14 593,54 + 5 000 = €19 593,54

Відповідь

EAC = €19 593,54

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 22,89 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(20%) = 347,22

NPV(25%) = −240,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 20 + 5·347,22/(347,22 − (−240,00)) = 22,96%

точно: NPV(22,89%) = 0 → IRR = 22,89%

Відповідь

IRR = 22,89%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26,83 kg

Стандартизуйте

z = (465,2 − 425)/26,83 = 1,5

Імовірність

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 189,5 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Відповідь

x = 189,51 cm

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil