Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 10 mP₁ = 45 kN у 7 mP₂ = 35 kN у 9 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (2 m від A) і спирається на рухому опору в D (6 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 3,5 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 2 mAD = 6 mP = 70 kN у 3,5 mw = 4 kN/m від 2 до 6 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓D: 25 kN ↓F: 15 kN ↓G: 30 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

B: 25 kN ↓D: 20 kN ↓F: 20 kN ↓F: 40 kN →G: 15 kN ↓H: 10 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 60 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 2 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mM₀ = 60 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 2 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 35 kN у 5 mw = 2 kN/m від 0 до 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 30 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 30 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 35 MPa на розтяг і 90 MPa на стиск. Знайдіть найбільший від’ємний згинальний момент M_allow, який може витримати балка (вкажіть його величину).

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 12 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 3,5 m має C_c = 0,5, C_r = 0,03 і e₀ = 0,75. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 60 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 1,5. Нова будівля додає 180 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 3,5 mC_c = 0,5C_r = 0,03e₀ = 0,75σ′₀ = 60 kPaOCR = 1,5Δσ = 180 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 19 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 4 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 6 m. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 19 mmt_lab = 4 minH = 6 mприродний шар: однобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,3 m/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,3 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 200 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Поверхня води у верхньому резервуарі на 12 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 0,2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 12 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) має ширину по дну 6 m і закладання укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,3 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,003. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 6 my = 1,3 mz = 1n = 0,015S = 0,003

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (цегляна кладка) шириною 2 m має пропускати 7,1 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,4 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 7,1 m³/sb = 2 my = 1,4 mn = 0,015

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 10 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 52 m. ККД насоса 75%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 90%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 10 L/sH = 52 mη_pump = 75%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 75 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 5 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 75 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €8 000 наприкінці кожного року протягом 15 років. Процентна ставка 4 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €8 000i = 4%n = 15

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €150 наприкінці кожного місяця протягом 17 років. Рахунок дає 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €1505,4% / 12N = 204

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €250 000. Він приносить €18 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 11 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €18 000g = 2%r = 11%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €10 500, €12 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 12 500

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 24,8 і 33,2 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 24,8x₂ = 33,2

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 63 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·7 + 35·9

R_B = 630/10 = 63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 63 = 17 kN

Відповідь

R_B = 63 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 103,5 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 4·4 = 16 kN у 2 m від C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 70·1,5 + 16·2

R_D = 34,25 kN

V_C = 86 − 34,25 = 51,75 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 51,75 = 51,75 kN

M_A = 51,75·2 = 103,5 kN·m

Відповідь

M_A = 103,5 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 58,75 kN (T), BC: 67,5 kN (T), CD: 67,5 kN (T), DE: 46,25 kN (T), FG: 58,75 kN (C), GH: 46,25 kN (C), AF: 83,09 kN (C), HE: 65,41 kN (C), BF: 43,75 kN (T), CG: 0, DH: 46,25 kN (T), BG: 12,37 kN (C), DG: 30,05 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 66,56 kN (T), BC: 59,37 kN (T), CD: 59,37 kN (T), DE: 40,94 kN (T), FG: 66,56 kN (C), GH: 40,94 kN (C), AF: 44,27 kN (C), HE: 68,23 kN (C), BF: 15,42 kN (T), CG: 0, DH: 44,58 kN (T), BG: 11,98 kN (T), DG: 30,73 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 45 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/8 = 7,5 kN (вгору)

R_A = −R_B = −7,5 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −7,5·2 + 60 = 45 kN·m

Відповідь

M_x = 45 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 20,13 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·5 + 2·8·4

R_B = 239/8 = 29,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 51 − 29,88 = 21,13 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 21,13·1 − 2·1·0,5 = 20,13 kN·m

Відповідь

M_x = 20,13 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 4,963 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 4,963 mm

Відповідь

δ_max = 4,963 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 43,95 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·5000⁴/(384·200000·13,89) = 4,395 × 10⁷ mm⁴

I_req = 43,95 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 43,95 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 92,12 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2500² = 92116 N = 92,12 kN

Відповідь

P_cr = 92,12 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 69,42 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 69,42 mm

Відповідь

d = 69,42 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 288,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 58,24 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

стінка: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·287,5 + 3360·140)/6660 = 213,1 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·15³/12 + 3300·(287,5 − 213,1)² = 1,834 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·280³/12 + 3360·(140 − 213,1)² = 3,99 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,834 × 10⁷ + 3,99 × 10⁷ = 5,824 × 10⁷ mm⁴ = 58,24 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 58,24 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 7,892 kN·m

Центр ваги

ȳ = (1200·225 + 1760·110)/2960 = 156,6 mm

верхній край: c = 230 − 156,6 = 73,38 mm

Момент інерції перерізу

I = 120·10³/12 + 1200·68,38² + 8·220³/12 + 1760·46,62² = 1,654 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Від’ємний момент: верх розтягнутий, низ стиснутий.

верхній край: M = 35·1,654 × 10⁷/73,38 = 7,892 kN·m

нижній край: M = 90·1,654 × 10⁷/156,6 = 9,507 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 7,892 kN·m (верхній край)

Відповідь

M_allow = 7,892 kN·m

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 98,1 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·10 = 98,1 kPa

Відповідь

u = 98,1 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 58,86 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Відповідь

u = 58,86 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 436,5 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·60 = 90 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 60 + 180 = 240 kPa > 90 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,03·3,5/(1 + 0,75)·log₁₀(90/60) + 0,5·3,5/(1 + 0,75)·log₁₀(240/90)

S = 10,57 + 426 = 436,5 mm

Відповідь

S = 436,5 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 1108 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 6 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 4·(6/0,0095)² = 1,596 × 10⁶ min

t_field = 1,596 × 10⁶/1440 = 1108 днів

Відповідь

t = 1108 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 58,86 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Відповідь

F = 58,86 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,519 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,5·2 = 90,5 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,1667/(4,5·2) = 4,519 m

Відповідь

y_cp = 4,519 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 1,887 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,3²/(2·9,81) = 0,2696 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,2)·2,3²/(2·9,81) = 1,887 m

Відповідь

h_f = 1,887 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 100,7 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·200/0,2 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

12 = (20 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·12/22,9) = 3,206 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 3,206·0,03142 = 0,1007 m³/s = 100,7 L/s

Відповідь

Q = 100,7 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 34,2 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·1,3)·1,3 = 9,49 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,3·√(1 + 1²) = 9,677 m

R = A/P = 0,9807 m

Швидкість

V = (1/0,015)·0,9807^2/3·0,003^1/2 = 3,604 m/s

Витрата

Q = A·V = 9,49·3,604 = 34,2 m³/s

Відповідь

Q = 34,2 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,002968 m/m

Геометрія

A = b·y = 2·1,4 = 2,8 m²

P = b + 2y = 2 + 2·1,4 = 4,8 m

R = A/P = 0,5833 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·7,1/(2,8·0,6981) = 0,05448

S = 0,05448² = 0,002968

Відповідь

S = 0,002968

Це зниження на 2,968 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 7,557 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·52 = 5,101 kW

Потужність на валу

P_shaft = 5,101/0,75 = 6,802 kW

Електрична потужність

P_el = 6,802/0,9 = 7,557 kW

Відповідь

P_el = 7,557 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 14,3 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 5)·0,2905 = 9,296 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 5 + 9,296 = 14,3 m

Відповідь

H = 14,3 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 88947 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5553)/0,04 = 11,12

Теперішня вартість

PV = 8 000·11,12 = €88 947,10

Відповідь

PV = €88 947,10

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 49971 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·17 = 204

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2,499 − 1)/0,0045 = €49 970,83

Відповідь

FV = €49 970,83

Самі ви внесли €30 600; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −50000 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 18 000/(0,11 − 0,02) = 200 000,00

NPV

NPV = 200 000,00 − 250 000 = −€50 000,00

Відповідь

NPV = −€50 000,00

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 9,551 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(5%) = 1 337,87

NPV(10%) = −123,97

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 5 + 5·1 337,87/(1 337,87 − (−123,97)) = 9,576%

точно: NPV(9,551%) = 0 → IRR = 9,551%

Відповідь

IRR = 9,551%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4642

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (24,8 − 32)/6 = −1,2

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Площа між

P = Φ(0,2) − Φ(−1,2) = 0,5793 − 0,1151 = 0,4642

Відповідь

P = 0,4642

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 241,8 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Відповідь

x = 241,78 g

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil