Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 6 mP₁ = 25 kN у 2 mP₂ = 40 kN у 4,5 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює 8 kN/m біля стіни й спадає до нуля на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 2,5 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 4 mw₀ = 8 kN/mP = 10 kN у 2,5 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

G: 25 kN ↓H: 30 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

B: 30 kN ↓D: 25 kN ↓G: 40 kN ↓H: 35 kN ↓H: 20 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 4,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 10 kN/m від 0 до 5 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 4 mw = 8 kN/m від 0 до 3 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 150 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 150 mm

h_req = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmвиріз: 30 × 40 mmцентр отвору: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15,5 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 3 m має C_c = 0,35, C_r = 0,05 і e₀ = 0,6. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 100 kPa і тиск попереднього ущільнення 220 kPa. Нова будівля додає 80 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 3 mC_c = 0,35C_r = 0,05e₀ = 0,6σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 220 kPaΔσ = 80 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 4 m має коефіцієнт консолідації c_v = 0,8 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 80% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,567. За скільки років t шар досягне 80% консолідації?

H = 4 mc_v = 0,8 m²/рікU = 80%T_v = 0,567однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,3 m/s горизонтальною трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,3 m/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 150 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Поверхня води у верхньому резервуарі на 5 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 5 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (оброблений бетон) має ширину по дну 3 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,5 m. n Маннінга = 0,012, ухил дна S = 0,0005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3 my = 1,5 mz = 1,5n = 0,012S = 0,0005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 300 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 1,2 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 30 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 76 m. ККД насоса 85%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 88%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 30 L/sH = 76 mη_pump = 85%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 6 m вища. Труба довжиною 500 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 75%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 60 L/sΔz = 6 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €5 000 під номінальну ставку 3,6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 10 років.

PV = €5 0003,6% / 4n = 10

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €25 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 3 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €25 0004,8% / 12N = 36

I = €

27.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €20 000 і приносить €5 500 наприкінці кожного року протягом 6 років. Вартість капіталу — 12 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 500CF₃ = 5 500CF₄ = 5 500CF₅ = 5 500CF₆ = 5 500

DPB = роки

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €34 500, €31 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −50 000CF₁ = 34 500CF₂ = 31 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 4 з них перевищує 99,5 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4> 99,5 kg

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 26,67 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·2 + 40·4,5

R_B = 230/6 = 38,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 38,33 = 26,67 kN

Відповідь

R_A = 26,67 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 46,33 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·8·4 = 16 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 16·1,333 + 10·2,5 = 46,33 kN·m

Відповідь

M_A = 46,33 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 26,67 kN (T), BC: 53,33 kN (T), CD: 53,33 kN (T), DE: 46,67 kN (T), FG: 26,67 kN (C), GH: 46,67 kN (C), AF: 33,33 kN (C), HE: 58,33 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 33,33 kN (C), DG: 8,333 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 28,12 kN (T), BC: 53,75 kN (T), CD: 53,75 kN (T), DE: 49,37 kN (T), FG: 48,13 kN (C), GH: 69,38 kN (C), AF: 80,21 kN (C), HE: 82,29 kN (C), BF: 64,17 kN (T), CG: 0, DH: 30,83 kN (T), BG: 42,71 kN (C), DG: 7,292 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −20 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Розріжте в x = 4,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 25 − 10·4,5 = −20 kN

Відповідь

V_x = −20 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 14,06 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·3·1,5

R_B = 36/4 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 9 = 15 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 15/8 = 1,875 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 15·1,875 − 8·1,875²/2 = 14,06 kN·m

Відповідь

M_max = 14,06 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 25,23 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 25,23 mm

Відповідь

δ_max = 25,23 mm

8.Прогин балки

Відповідь: h_req = 154 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·11,67) = 4,568 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·4,568 × 10⁷/150)^1/3 = 154 mm

Відповідь

h_req = 154 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 21,7 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21,7 kN

Відповідь

P_cr = 21,7 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 12,34 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Відповідь

σ_cr = 12,34 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 58,5 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

стінка: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·285 + 3920·140)/6520 = 197,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·10³/12 + 2600·(285 − 197,8)² = 1,978 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·280³/12 + 3920·(140 − 197,8)² = 3,872 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,978 × 10⁷ + 3,872 × 10⁷ = 5,85 × 10⁷ mm⁴ = 58,5 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 58,5 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 1200·120)/(20000 − 1200) = 98,72 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·1,277² = 66,7 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·40³/12 + 1200·21,28² = 0,7032 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 55,5 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·1 + 19,5·2 = 55,5 kPa

Відповідь

σ = 55,5 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 80,52 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·5 + γ_sat,clay·3

σ = 15,5·1 + 18,5·5 + 17·3 = 159 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8 = 78,48 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 159 − 78,48 = 80,52 kPa

Відповідь

σ′ = 80,52 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 23,93 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 100 + 80 = 180 kPa ≤ 220 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·3/(1 + 0,6)·log₁₀(180/100) = 23,93 mm

Відповідь

S = 23,93 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 11,34 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 4 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·4²/0,8 = 11,34 роки

Відповідь

t = 11,34 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 44,15 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1 = 44,15 kN

Відповідь

F = 44,15 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 64,75 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·3 = 64,75 kN

Відповідь

F = 64,75 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 176,3 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(400/0,15)·2,3²/(2·9,81) = 17,97 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·17,97 = 176333 Pa = 176,3 kPa

Відповідь

Δp = 176,3 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 31,74 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·150/0,15 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

5 = (18 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·5/30,4) = 1,796 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 1,796·0,01767 = 0,03174 m³/s = 31,74 L/s

Відповідь

Q = 31,74 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 14,05 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3 + 1,5·1,5)·1,5 = 7,875 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,5·√(1 + 1,5²) = 8,408 m

R = A/P = 0,9366 m

Швидкість

V = (1/0,012)·0,9366^2/3·0,0005^1/2 = 1,784 m/s

Витрата

Q = A·V = 7,875·1,784 = 14,05 m³/s

Відповідь

Q = 14,05 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,007694 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,1778)² = 0,007694

Відповідь

S = 0,007694

Це зниження на 7,694 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 29,9 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·76 = 22,37 kW

Потужність на валу

P_shaft = 22,37/0,85 = 26,31 kW

Електрична потужність

P_el = 26,31/0,88 = 29,9 kW

Відповідь

P_el = 29,9 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 11,06 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 6)·0,1859 = 8,087 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 6 + 8,087 = 14,09 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·14,09/0,75 = 11,06 kW

Відповідь

P_shaft = 11,06 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 7155 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·10 = 40

Майбутня вартість

FV = 5 000·(1 + 0,009)⁴⁰ = 5 000·1,431 = €7 155,12

Відповідь

FV = €7 155,12

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 1893 €

Щомісячний платіж

i = 0,004, N = 36

A = 25 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻³⁶) = €747,03

Усього відсотків

I = N·A − P = 36·747 − 25 000 = €1 893,07

Відповідь

I = €1 893,07

27.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 5,062 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 5 500/1,12 = 4 910,71 → Σ = 4 910,71

рік 2: 5 500/1,254 = 4 384,57 → Σ = 9 295,28

рік 3: 5 500/1,405 = 3 914,79 → Σ = 13 210,07

рік 4: 5 500/1,574 = 3 495,35 → Σ = 16 705,42

рік 5: 5 500/1,762 = 3 120,85 → Σ = 19 826,27

рік 6: 5 500/1,974 = 2 786,47 → Σ = 22 612,74

Частка останнього року

DPB = 5 + 173,73/2 786,47 = 5,062

Відповідь

DPB = 5,062 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,636 років).

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 20,47 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(20%) = 277,78

NPV(25%) = −2 560,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 20 + 5·277,78/(277,78 − (−2 560,00)) = 20,49%

точно: NPV(20,47%) = 0 → IRR = 20,47%

Відповідь

IRR = 20,47%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6915

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 100 kg, σ_T = 0,5·√4 = 1 kg

Стандартизуйте

z = (99,5 − 100)/1 = −0,5

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Відповідь

P = 0,6915

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9772

Розподіл різниці

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

Імовірність

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil