Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 5 mAC = 8 mP₁ = 65 kN у 3 mP₂ = 20 kN у 8 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3 m від A) і спирається на рухому опору в D (6 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 5,5 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD і зосередженою силою Q на відстані 0,5 m від A. Знайдіть реакцію R_D рухомої опори.

AC = 3 mAD = 6 mP = 15 kN у 5,5 mw = 2 kN/m від 3 до 6 mQ = 30 kN у 0,5 m

R_D = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

F: 20 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 50 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN →

F_BC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 2 kN/m від 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть згинальний момент M_B на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5,5 mw = 4 kN/m від 0 до 5,5 mопори в x = 0 і x = 4 m

M_B = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 3 kNw = 15 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена двома однаковими зосередженими силами P у третинах прольоту (L/3 від кожної опори). За принципом накладання знайдіть прогин δ_max посередині прольоту.

P = 26 kNL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 160 mm і товщиною 16 mm, повну висоту 460 mm і стінку товщиною 10 mm. Він сприймає згинальний момент 40 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 160 mmH = 460 mmt_f = 16 mmt_w = 10 mmM = 40 kN·m

σ_j = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 6,5 m має C_c = 0,35, C_r = 0,03 і e₀ = 0,75. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 110 kPa і тиск попереднього ущільнення 150 kPa. Нова будівля додає 130 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 6,5 mC_c = 0,35C_r = 0,03e₀ = 0,75σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 150 kPaΔσ = 130 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 2,5 m²/year. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. Для 50% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,197. За скільки років t шар досягне 50% консолідації?

H = 5 mc_v = 2,5 m²/рікU = 50%T_v = 0,197двобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 20 L/s трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 20 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 0,2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) має ширину по дну 3,5 m і закладання укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 2,1 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3,5 my = 2,1 mz = 2n = 0,015S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) з шириною по дну 1 m і закладанням укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 1,4 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,6 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 1,4 m³/sb = 1 my = 0,6 mz = 1,5n = 0,03

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 30 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 58 m. ККД насоса 65%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 94%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 30 L/sH = 58 mη_pump = 65%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 28 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 400 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 80 L/sΔz = 28 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8p_tank = 400 kPa

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 6 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €20 0002% / 4n = 6

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €300 наприкінці кожного місяця протягом 16 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €3002,4% / 12N = 192

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €400 000. Він приносить €22 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 1 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €22 000g = 1%r = 8%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €25 000 приносить €5 500 наприкінці кожного року протягом 5 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €25 000CF = €5 500n = 5

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8165. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8165

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 14 kN

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 65·3 + 20·8

R_B = 355/5 = 71 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 65 + 20 − 71 = 14 kN

Відповідь

R_A = 14 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_D = 15,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 2·3 = 6 kN у 1,5 m від C

ΣM_C = 0: R_D·3 = 15·2,5 + 6·1,5

R_D = 15,5 kN

V_C = 21 − 15,5 = 5,5 kN

Відповідь

R_D = 15,5 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 20 kN (T), BC: 13,33 kN (T), CD: 13,33 kN (T), DE: 6,667 kN (T), FG: 20 kN (C), GH: 6,667 kN (C), AF: 25 kN (C), HE: 8,333 kN (C), BF: 5 kN (C), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 8,333 kN (T), DG: 8,333 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −54,21 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·4 + 15·2 → C_y = 38,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 38,33 = 11,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −38,33/0,7071 = −54,21 kN

Відповідь

F_BC = −54,21 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 4 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 5·1 − 2·1·0,5 = 4 kN·m

Відповідь

M_x = 4 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_B = −4,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·5,5 = 22 kN, прикладена в x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·5,5·2,75

R_B = 60,5/4 = 15,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 15,13 = 6,875 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

Навантаження на консолі, w·a, прикладене на відстані a/2 від B і вигинає балку над опорою опуклістю догори.

M_B = −w·a²/2 = −4·1,5²/2 = −4,5 kN·m

Відповідь

M_B = −4,5 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 1,149 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 3000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·1500³/(3·1,12 × 10¹³) = 0,3013 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 0,8475 mm

Додайте

δ = 0,3013 + 0,8475 = 1,149 mm

Відповідь

δ = 1,149 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 14,77 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 26000 N, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Одна сила в точці L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 7,383 mm

Додайте обидві сили

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 14,77 mm

Відповідь

δ_max = 14,77 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 39,65 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1400² = 39655 N = 39,65 kN

Відповідь

P_cr = 39,65 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 17,48 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/6,25 = 336

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/336² = 17,48 MPa

Відповідь

σ_cr = 17,48 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 63,54 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

стінка: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·272,5 + 3640·130)/8640 = 212,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·25³/12 + 5000·(272,5 − 212,5)² = 1,828 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·260³/12 + 3640·(130 − 212,5)² = 4,526 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,828 × 10⁷ + 4,526 × 10⁷ = 6,354 × 10⁷ mm⁴ = 63,54 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 63,54 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 26,94 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 460 − 2·16 = 428 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·460³ − 150·428³)/12

I_x = 3,178 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 230 − 16 = 214 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·214/3,178 × 10⁸ = 26,94 MPa

Відповідь

σ_j = 26,94 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 95,45 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·3 + 19·5 = 144,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 144,5 − 49,05 = 95,45 kPa

Відповідь

σ′ = 95,45 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 122,5 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2

σ = 15·2 + 18,5·3 + 18,5·2 = 122,5 kPa

Відповідь

σ = 122,5 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 280,4 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 110 + 130 = 240 kPa > 150 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,03·6,5/(1 + 0,75)·log₁₀(150/110) + 0,35·6,5/(1 + 0,75)·log₁₀(240/150)

S = 15,01 + 265,4 = 280,4 mm

Відповідь

S = 280,4 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 0,4925 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H/2 = 5/2 = 2,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·2,5²/2,5 = 0,4925 роки

Відповідь

t = 0,4925 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 71,74 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·2,25 = 71,74 kN

Відповідь

F = 71,74 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,939 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,75·2,5 = 84,98 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 1,302/(2,75·2,5) = 2,939 m

Відповідь

y_cp = 2,939 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 0,3873 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,02/0,03142 = 0,6366 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 0,6366²/(2·9,81) = 0,02066 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(150/0,2)·0,6366²/(2·9,81) = 0,3873 m

Відповідь

h_f = 0,3873 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 6,379 m

Швидкість

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·200/0,3 = 13,33

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Сумарні втрати напору

h_f = 13,33·0,408 = 5,44 m

h_m = 2,3·0,408 = 0,9385 m

Δz = h_f + h_m = 6,379 m

Відповідь

Δz = 6,379 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 35,46 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 2·2,1)·2,1 = 16,17 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·2,1·√(1 + 2²) = 12,89 m

R = A/P = 1,254 m

Швидкість

V = (1/0,015)·1,254^2/3·0,0008^1/2 = 2,193 m/s

Витрата

Q = A·V = 16,17·2,193 = 35,46 m³/s

Відповідь

Q = 35,46 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,005293 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·0,6)·0,6 = 1,14 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0,6·√(1 + 1,5²) = 3,163 m

R = A/P = 0,3604 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·1,4/(1,14·0,5064) = 0,07275

S = 0,07275² = 0,005293

Відповідь

S = 0,005293

Це зниження на 5,293 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 27,94 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·58 = 17,07 kW

Потужність на валу

P_shaft = 17,07/0,65 = 26,26 kW

Електрична потужність

P_el = 26,26/0,94 = 27,94 kW

Відповідь

P_el = 27,94 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 79,68 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0,3305 = 10,91 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 28 + 40,77 + 10,91 = 79,68 m

Відповідь

H = 79,68 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 17744 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·6 = 24

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,127 = €17 743,71

Відповідь

PV = €17 743,71

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 70137 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·16 = 192

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,468 − 1)/0,002 = €70 137,38

Відповідь

FV = €70 137,38

Самі ви внесли €57 600; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −85714 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 22 000/(0,08 − 0,01) = 314 285,71

NPV

NPV = 314 285,71 − 400 000 = −€85 714,29

Відповідь

NPV = −€85 714,29

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 3,263 %

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 25 000/5 500 = 4,545

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 3%: 4,58

i = 4%: 4,452

IRR = 3,263%

Відповідь

IRR = 3,263%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,33

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8165)/2 = 0,9082

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9082 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,33

Відповідь

z = 1,33

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9452

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Відповідь

P = 0,9452

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil