Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 8 mP₁ = 15 kN у 3 mP₂ = 10 kN у 4 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 6 m від A під кутом 30° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 3 m від A. Знайдіть кут α між повною реакцією в шарнірі A і горизонталлю.

L = 8 mP = 10 kN у 6 m, θ = 30°Q = 30 kN у 3 m

α = °

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓F: 25 kN ↓G: 10 kN ↓H: 30 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

D: 20 kN ↓F: 35 kN ↓G: 30 kN ↓H: 10 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 4 mP₁ = 45 kN у 2 mP₂ = 30 kN у 3 m

M_max = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 9 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 20 kN у 9 mw = 8 kN/m від 0 до 10 mx = 9 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 70 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmвиріз: 40 × 30 mmцентр отвору: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 6 m має C_c = 0,35, C_r = 0,06 і e₀ = 0,7. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 115 kPa і тиск попереднього ущільнення 195 kPa. Нова будівля додає 170 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 6 mC_c = 0,35C_r = 0,06e₀ = 0,7σ′₀ = 115 kPaσ′_p = 195 kPaΔσ = 170 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 25 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 4 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 4,5 m. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 25 mmt_lab = 4 minH = 4,5 mприродний шар: двобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 25 L/s трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 25 L/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,025. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) має ширину по дну 2,5 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 2,2 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2,5 my = 2,2 mz = 1,5n = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (ґрунт, укріплений травою) шириною 1 m має пропускати 1,5 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,4 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 1,5 m³/sb = 1 my = 1,4 mn = 0,03

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 82% подає 10 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 26 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 10 L/sH = 26 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 10 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 2,5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 2,5

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €5 000 під номінальну ставку 3 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 10 років.

PV = €5 0003% / 12n = 10

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €30 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 3 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €30 0004,8% / 12N = 36

I = €

27.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €500 000. Він приносить €46 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €46 000g = 2%r = 9%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €10 000, €15 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 15 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,8315. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8315

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 10,63 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·3 + 10·4

R_B = 85/8 = 10,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 10,63 = 14,38 kN

Відповідь

R_B = 10,63 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: α = 66,59 °

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

P_v = 10·sin 30° = 5 kN

P_h = 10·cos 30° = 8,66 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·6 + 30·3 → R_B = 15 kN

A_y = 5 + 30 − 15 = 20 kN

A_x = P_h = 8,66 kN

Напрямок у A

α = atan(A_y/A_x) = atan(20/8,66) = 66,59°

Відповідь

α = 66,59°

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 57,5 kN (T), BC: 57,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 42,5 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 81,32 kN (C), HE: 60,1 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 3,536 kN (C), HC: 17,68 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 38,75 kN (T), BC: 38,75 kN (T), CD: 36,25 kN (T), DE: 36,25 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 68,94 kN (C), HE: 51,27 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 19,45 kN (T), HC: 22,98 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: BF

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 60 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 30·3

R_B = 180/4 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 45 = 30 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·2 = 30·2 = 60 kN·m

під P₂: M = R_B·1 = 45·1 = 45 kN·m

Найбільше значення

M_max = 60 kN·m (під P₁)

Відповідь

M_max = 60 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 54 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·9 + 8·10·5

R_B = 580/10 = 58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 58 = 42 kN

Розріжте в x = 9 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 42·9 − 8·9·4,5 = 54 kN·m

Відповідь

M_x = 54 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 39,22 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 39,22 mm

Відповідь

δ_max = 39,22 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,125 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 29,37 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1750² = 29374 N = 29,37 kN

Відповідь

P_cr = 29,37 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 12,34 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/5 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Відповідь

σ_cr = 12,34 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 66,51 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

стінка: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·287,5 + 3920·140)/7520 = 210,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·15³/12 + 3600·(287,5 − 210,6)² = 2,135 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·280³/12 + 3920·(140 − 210,6)² = 4,516 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,135 × 10⁷ + 4,516 × 10⁷ = 6,651 × 10⁷ mm⁴ = 66,51 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 66,51 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 65,43 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 1200·70)/(20000 − 1200) = 101,9 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·−1,915² = 66,74 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·30³/12 + 1200·−31,91² = 1,312 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 65,43 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 65,43 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 134,5 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·2 + 20,5·5 = 134,5 kPa

Відповідь

σ = 134,5 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 124 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 16,5·2 + 19·1 + 18·4 = 124 kPa

Відповідь

σ = 124 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 252,2 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 115 + 170 = 285 kPa > 195 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,06·6/(1 + 0,7)·log₁₀(195/115) + 0,35·6/(1 + 0,7)·log₁₀(285/195)

S = 48,57 + 203,6 = 252,2 mm

Відповідь

S = 252,2 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 90 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 4,5/2 = 2,25 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 4·(2,25/0,0125)² = 129600 min

t_field = 129600/1440 = 90 днів

Відповідь

t = 90 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 19,62 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·1 = 19,62 kN

Відповідь

F = 19,62 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 1,4 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,25·1,5 = 16,19 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,25 + 0,2813/(1,25·1,5) = 1,4 m

Відповідь

y_cp = 1,4 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 113,6 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 3,183²/(2·9,81) = 0,5164 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,1)·3,183²/(2·9,81) = 113,6 m

Відповідь

h_f = 113,6 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 3,296 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Сумарні втрати напору

h_f = 20·0,119 = 2,38 m

h_m = 7,7·0,119 = 0,9162 m

Δz = h_f + h_m = 3,296 m

Відповідь

Δz = 3,296 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 61,53 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·2,2)·2,2 = 12,76 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,2·√(1 + 1,5²) = 10,43 m

R = A/P = 1,223 m

Швидкість

V = (1/0,015)·1,223^2/3·0,004^1/2 = 4,822 m/s

Витрата

Q = A·V = 12,76·4,822 = 61,53 m³/s

Відповідь

Q = 61,53 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,003912 m/m

Геометрія

A = b·y = 1·1,4 = 1,4 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,4 = 3,8 m

R = A/P = 0,3684 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·1,5/(1,4·0,5139) = 0,06254

S = 0,06254² = 0,003912

Відповідь

S = 0,003912

Це зниження на 3,912 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 3,11 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·26 = 2,551 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 2,551/0,82 = 3,11 kW

Відповідь

P_shaft = 3,11 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 15,92 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 2,5)·0,408 = 5,916 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 10 + 5,916 = 15,92 m

Відповідь

H = 15,92 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 6747 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·10 = 120

Майбутня вартість

FV = 5 000·(1 + 0,0025)¹²⁰ = 5 000·1,349 = €6 746,77

Відповідь

FV = €6 746,77

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 2272 €

Щомісячний платіж

i = 0,004, N = 36

A = 30 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻³⁶) = €896,44

Усього відсотків

I = N·A − P = 36·896,4 − 30 000 = €2 271,68

Відповідь

I = €2 271,68

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 157143 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 46 000/(0,09 − 0,02) = 657 142,86

NPV

NPV = 657 142,86 − 500 000 = €157 142,86

Відповідь

NPV = €157 142,86

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 15,14 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(15%) = 37,81

NPV(20%) = −1 250,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 15 + 5·37,81/(37,81 − (−1 250,00)) = 15,15%

точно: NPV(15,14%) = 0 → IRR = 15,14%

Відповідь

IRR = 15,14%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,96

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,8315 = 0,1685

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,1685 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,96

Відповідь

z = −0,96

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7389

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Відповідь

P = 0,7389

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil