Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 8 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 10 mP = 65 kN у 8 mw = 8 kN/m від 0 до 10 m

M_A = kN·m

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3 m від A) і спирається на рухому опору в D (10 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 7 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 3 mAD = 10 mP = 65 kN у 7 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 7 m від Aвертикальне навантаження = 60 kN

F_BC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 10 kN ←

F_AC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 6 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

30 kN @ 0 m10 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 22 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 45 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 140 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 200 mmвиріз: 40 × 50 mmцентр отвору: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 9 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 8,5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 8 m має C_c = 0,5, C_r = 0,05 і e₀ = 0,65. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 100 kPa і тиск попереднього ущільнення 190 kPa. Нова будівля додає 45 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 8 mC_c = 0,5C_r = 0,05e₀ = 0,65σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 190 kPaΔσ = 45 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 25 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 10 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 7 m. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 25 mmt_lab = 10 minH = 7 mприродний шар: однобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 1,7 m/s трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 1,7 m/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) має ширину по дну 6 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,1 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 6 my = 1,1 mz = 1,5n = 0,022S = 0,002

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 600 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 0,9 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 70% подає 10 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 12 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 10 L/sH = 12 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 11 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 4 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 250 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 60 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 4p_tank = 250 kPa

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €12 000 під номінальну ставку 5 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 5 років.

PV = €12 0005% / 12n = 5

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви позичаєте €10 000 під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €250. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.

P = €10 000A = €2504,8% / 12

N = платежів

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €18 000, €14 000, €9 000, €14 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 14 000CF₃ = 9 000CF₄ = 14 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €6 500, €6 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 6 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,5223. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,5223

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 920 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m

Момент відносно стіни

M_A = P·a + W·x̄ = 65·8 + 80·5 = 920 kN·m

Відповідь

M_A = 920 kN·m

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 83,57 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·7 = 65·4

R_D = 37,14 kN

V_C = 65 − 37,14 = 27,86 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 27,86 = 27,86 kN

M_A = 27,86·3 = 83,57 kN·m

Відповідь

M_A = 83,57 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −55,34 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·7 → C_y = 52,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 52,5 = 7,5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −52,5/0,9487 = −55,34 kN

Відповідь

F_BC = −55,34 kN (стиск)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 9 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·2 − 10·2 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6 = 19 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Вузол C

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6/0,5547 = −10,82 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−10,82)·0,8321 = 9 kN

Відповідь

F_AC = 9 kN (розтяг)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 26,67 kN, R₂ = 13,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 53,33, M_C = 66,67, M_D = 80 kN·m, M_E = 53,33, M_F = 26,67, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 80 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 2 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 6,667 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −60 kN·m, M_C = −53,33, M_D = −46,67, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = −60 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 74,07 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 8000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·8000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 74,07 mm

Відповідь

δ_max = 74,07 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 6,19 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 22000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·4000³/(48·1,12 × 10¹³) = 2,619 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 3,571 mm

Додайте

δ_max = 2,619 + 3,571 = 6,19 mm

Відповідь

δ_max = 6,19 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 53,97 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1000² = 53974 N = 53,97 kN

Відповідь

P_cr = 53,97 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 11,99 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Відповідь

σ_cr = 11,99 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (22500·75 − 1257·45)/(22500 − 1257) = 76,77 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,775² = 42,26 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−31,77² = 1,394 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 129,5 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (40000·100 − 2000·140)/(40000 − 2000) = 97,89 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·200³/12 + 40000·2,105² = 133,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·50³/12 + 2000·42,11² = 3,962 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 129,5 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 129,5 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 98,33 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·2 + 19·7 = 167 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 167 − 68,67 = 98,33 kPa

Відповідь

σ′ = 98,33 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 101,9 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15·4 + 19,5·1 + 19·3,5 = 146 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 146 − 44,15 = 101,9 kPa

Відповідь

σ′ = 101,9 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 39,12 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 100 + 45 = 145 kPa ≤ 190 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·8/(1 + 0,65)·log₁₀(145/100) = 39,12 mm

Відповідь

S = 39,12 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 2178 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 7 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 10·(7/0,0125)² = 3,136 × 10⁶ min

t_field = 3,136 × 10⁶/1440 = 2178 днів

Відповідь

t = 2178 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 42,92 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,5 = 42,92 kN

Відповідь

F = 42,92 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 166,9 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·4,5 = 166,9 kN

Відповідь

F = 166,9 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 6,481 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,7²/(2·9,81) = 0,1473 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,075)·1,7²/(2·9,81) = 6,481 m

Відповідь

h_f = 6,481 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 1,227 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·150/0,25 = 10,8

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Сумарні втрати напору

h_f = 10,8·0,05288 = 0,5711 m

h_m = 12,4·0,05288 = 0,6557 m

Δz = h_f + h_m = 1,227 m

Відповідь

Δz = 1,227 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 15,28 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·1,1)·1,1 = 8,415 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,1·√(1 + 1,5²) = 9,966 m

R = A/P = 0,8444 m

Швидкість

V = (1/0,022)·0,8444^2/3·0,002^1/2 = 1,816 m/s

Витрата

Q = A·V = 8,415·1,816 = 15,28 m³/s

Відповідь

Q = 15,28 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001718 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,2823)² = 0,001718

Відповідь

S = 0,001718

Це зниження на 1,718 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 1,682 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·12 = 1,177 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 1,177/0,7 = 1,682 kW

Відповідь

P_shaft = 1,682 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 38,9 m

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 4)·0,1859 = 2,417 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 25,48 + 2,417 = 38,9 m

Відповідь

H = 38,9 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 15400 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·5 = 60

Майбутня вартість

FV = 12 000·(1 + 0,004167)⁶⁰ = 12 000·1,283 = €15 400,30

Відповідь

FV = €15 400,30

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: N = 44 платежів

Перетворіть формулу ануїтету

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,004/250 = 0,84

Розв’язання за допомогою логарифмів

N = −ln(0,84)/ln(1,004) = 43,68

Округлення вгору до повних платежів

Після 43 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.

N = 44

Відповідь

N = 44 платежів

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 2078 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 18 000/1,07 = 16 822,43

CF₂/(1 + 0,07)² = 14 000/1,145 = 12 228,14

CF₃/(1 + 0,07)³ = 9 000/1,225 = 7 346,68

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 14 000/1,311 = 10 680,53

Додайте

NPV = €2 077,79

Відповідь

NPV = €2 077,79

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 16,5 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(15%) = 189,04

NPV(20%) = −416,67

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 15 + 5·189,04/(189,04 − (−416,67)) = 16,56%

точно: NPV(16,5%) = 0 → IRR = 16,5%

Відповідь

IRR = 16,5%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,71

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,5223)/2 = 0,7611

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7611 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,71

Відповідь

z = 0,71

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil