Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що спадає від 20 kN/m в A до нуля в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mw₀ = 20 kN/m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює 15 kN/m біля стіни й спадає до нуля на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 4,5 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 5 mw₀ = 15 kN/mP = 55 kN у 4,5 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓C: 40 kN ↓D: 35 kN ↓H: 20 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →

F_AC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 6 m50 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 15 kN у 3 mw = 5 kN/m від 0 до 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 3 mw = 15 kN/m

M_A = kN·m

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 70 mm і внутрішній діаметр d = 62 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 70 mmd = 62 mm

r = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 100 mm і товщиною 24 mm, повну висоту 340 mm і стінку товщиною 12 mm. Він сприймає згинальний момент 150 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σ_max у перерізі.

B = 100 mmH = 340 mmt_f = 24 mmt_w = 12 mmM = 150 kN·m

σ_max = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 8 m має C_c = 0,25, C_r = 0,03 і e₀ = 0,85. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 90 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 1,5. Нова будівля додає 60 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 8 mC_c = 0,25C_r = 0,03e₀ = 0,85σ′₀ = 90 kPaOCR = 1,5Δσ = 60 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 10 m має коефіцієнт консолідації c_v = 5 m²/year. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. Для 80% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,567. За скільки років t шар досягне 80% консолідації?

H = 10 mc_v = 5 m²/рікU = 80%T_v = 0,567двобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 30 L/s трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 30 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 300 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 10). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 450 mm заповнений наполовину. n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,0005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,0005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 600 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 0,6 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 76 m, а його вал споживає 85,2 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 80 L/sH = 76 mP_shaft = 85,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 75 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 36 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 75 L/sΔz = 36 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 3 років вам потрібно €50 000. Рахунок дає 5 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €50 0005% / 4n = 3

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви позичаєте €20 000 під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €350. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.

P = €20 000A = €3507,2% / 12

N = платежів

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €40 000, служить 6 років, а його експлуатація коштує €3 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €40 000M = €3 000n = 6r = 8%

EAC = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €18 500, €16 500, €14 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 16 500CF₃ = 14 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0188. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,0188

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 20 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·20·6 = 60 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·2

R_B = 20 kN

R_A = 60 − 20 = 40 kN

Відповідь

R_B = 20 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 310 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·15·5 = 37,5 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 37,5·1,667 + 55·4,5 = 310 kN·m

Відповідь

M_A = 310 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 60 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 70 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 84,85 kN (C), HE: 98,99 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 35,36 kN (T), HC: 21,21 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 10,21 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·5 + 30·4 → C_y = 40,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 40,83 = −15,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −40,83/0,9701 = −42,09 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−42,09)·0,2425 = 10,21 kN

Відповідь

F_AC = 10,21 kN (розтяг)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 30,83 kN, R₂ = 64,17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 61,67, M_C = 123,3, M_D = 185 kN·m, M_E = 156,7, M_F = 128,3, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 185 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 65,63 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·3 + 5·8·4

R_B = 205/8 = 25,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 25,63 = 29,38 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 29,38·3 − 5·3·1,5 = 65,63 kN·m

Відповідь

M_x = 65,63 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 65,28 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 65,28 mm

Відповідь

δ_max = 65,28 mm

8.Прогин балки

Відповідь: M_A = 16,88 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·3/8 = 16,88 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 67,5 − 50,63 = 16,88 kN·m

Відповідь

M_A = 16,88 kN·m

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 24,56 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/3000² = 24564 N = 24,56 kN

Відповідь

P_cr = 24,56 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 49,35 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Відповідь

σ_cr = 49,35 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 23,38 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 829,4 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 453256 mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(453256/829,4) = 23,38 mm

Відповідь

r = 23,38 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_max = 175,9 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 340 − 2·24 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·340³ − 88·292³)/12

I_x = 1,45 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 170 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·170/1,45 × 10⁸ = 175,9 MPa

Відповідь

σ_max = 175,9 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 188 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·4 + 20·6 = 188 kPa

Відповідь

σ = 188 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 108,9 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 17·4 + 20·1 + 17,5·4 = 158 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 158 − 49,05 = 108,9 kPa

Відповідь

σ′ = 108,9 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 72,31 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·90 = 135 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 90 + 60 = 150 kPa > 135 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,03·8/(1 + 0,85)·log₁₀(135/90) + 0,25·8/(1 + 0,85)·log₁₀(150/135)

S = 22,84 + 49,47 = 72,31 mm

Відповідь

S = 72,31 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 2,835 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H/2 = 10/2 = 5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·5²/5 = 2,835 роки

Відповідь

t = 2,835 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 66,22 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3 = 66,22 kN

Відповідь

F = 66,22 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 33,99 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,75·2,25 = 33,99 kN

Відповідь

F = 33,99 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 1,301 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,03/0,03142 = 0,9549 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 0,9549²/(2·9,81) = 0,04648 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(200/0,2)·0,9549²/(2·9,81) = 1,301 m

Відповідь

h_f = 1,301 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 1,626 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,025·150/0,3 = 12,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 12,5 + 11,4)·0,06529 = 1,626 m

Відповідь

H = 1,626 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,03188 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,07952 m², R = D/4 = 0,1125 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,0005^1/2 = 0,4008 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,07952·0,4008 = 0,03188 m³/s

Відповідь

Q = 0,03188 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0007634 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,2823)² = 0,0007634

Відповідь

S = 0,0007634

Це зниження на 0,7634 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 70,01 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·76 = 59,64 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 59,64/85,2 = 70,01%

Відповідь

η = 70,01%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 44,71 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0,2905 = 8,715 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 36 + 8,715 = 44,71 m

Відповідь

H = 44,71 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 43075 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·3 = 12

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,161 = €43 075,43

Відповідь

PV = €43 075,43

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: N = 71 платежів

Перетворіть формулу ануїтету

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0,006/350 = 0,6571

Розв’язання за допомогою логарифмів

N = −ln(0,6571)/ln(1,006) = 70,19

Округлення вгору до повних платежів

Після 70 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.

N = 71

Відповідь

N = 71 платежів

27.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 11653 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,08⁻⁶)/0,08 = 4,623

Ціна придбання, перерахована на рік

40 000/4,623 = 8 652,62

EAC

EAC = 8 652,62 + 3 000 = €11 652,62

Відповідь

EAC = €11 652,62

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 45,69 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(45%) = 198,66

NPV(50%) = −1 185,19

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 45 + 5·198,66/(198,66 − (−1 185,19)) = 45,72%

точно: NPV(45,69%) = 0 → IRR = 45,69%

Відповідь

IRR = 45,69%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 2,08

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,0188 = 0,9812

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9812 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 2,08

Відповідь

z = 2,08

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 58,26 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 балів

Відповідь

x = 58,26 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil