Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 8 mP₁ = 60 kN у 1 mP₂ = 45 kN у 4 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mP = 55 kN у 1 mw = 12 kN/m від 1 до 2 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

F: 35 kN ↓H: 15 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 20 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN →

F_BC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 25 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 4 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mM₀ = 25 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 4 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 0 m40 kN @ 12 m55 kN @ 4 m12 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 6 mw = 12 kN/m

M_A = kN·m

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 140 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 140 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 140 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 100 mm. Основа й полиці мають товщину 16 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 140 mmh = 100 mmt = 16 mm

ȳ = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 300 mmвиріз: 40 × 50 mmцентр отвору: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 7 m має C_c = 0,5, C_r = 0,04 і e₀ = 0,85. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 105 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 2. Нова будівля додає 140 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 7 mC_c = 0,5C_r = 0,04e₀ = 0,85σ′₀ = 105 kPaOCR = 2Δσ = 140 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 6 m має коефіцієнт консолідації c_v = 1,5 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 60% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,287. За скільки років t шар досягне 60% консолідації?

H = 6 mc_v = 1,5 m²/рікU = 60%T_v = 0,287однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2 m/s трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Поверхня води у верхньому резервуарі на 23 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 23 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) має ширину по дну 3,5 m і закладання укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 0,8 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,001. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3,5 my = 0,8 mz = 1n = 0,015S = 0,001

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) з шириною по дну 4,5 m і закладанням укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 13 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,6 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 13 m³/sb = 4,5 my = 1,6 mz = 1n = 0,022

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 60% подає 150 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 76 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 150 L/sH = 76 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 100 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 17 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 100 L/sΔz = 17 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 6

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 8 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 4 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €40 0004% / 4n = 8

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €500 наприкінці кожного місяця протягом 5 років. Рахунок дає 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €5007,2% / 12N = 60

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €9 000, €16 000, €19 000, €20 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 9 000CF₂ = 16 000CF₃ = 19 000CF₄ = 20 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €21 000, €20 000, €19 000 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 21 000CF₂ = 20 000CF₃ = 19 000

MIRR = %

29.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 120 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,3 mm; Y незалежна й нормальна із середнім 80 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,4 mm. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 199,8 mm. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,8 mm

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 30 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·1 + 45·4

R_B = 240/8 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 30 = 75 kN

Відповідь

R_B = 30 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 14,6 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 12·1·1,5

R_B = 73/5 = 14,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 14,6 = 52,4 kN

Відповідь

R_B = 14,6 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 30 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 20 kN (C), AF: 42,43 kN (C), HE: 28,28 kN (C), BF: 5 kN (C), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 7,071 kN (T), DG: 7,071 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −15 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·2 + 5·4 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 12 = 8 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12/0,8 = −15 kN

Відповідь

F_BC = −15 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = −16,67 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/6 = 4,167 kN (вгору)

R_A = −R_B = −4,167 kN (вниз)

Переріз безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту

Ліва частина містить лише R_A.

M_x = R_A·a = −4,167·4 = −16,67 kN·m

Відповідь

M_x = −16,67 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 72,67 kN, R₂ = 114,3 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = 41,33, M_D = −35,33, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −160 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 36,99 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 36,99 mm

Відповідь

δ = 36,99 mm

8.Прогин балки

Відповідь: M_A = 54 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·6/8 = 27 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 216 − 162 = 54 kN·m

Відповідь

M_A = 54 kN·m

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 49,35 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/3000² = 49348 N = 49,35 kN

Відповідь

P_cr = 49,35 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 102,7 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 102,7 mm

Відповідь

d = 102,7 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 116,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 35,27 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 140·16 = 2240 mm², y₁ = 8 mm

дві полиці: A₂ = 2·16·84 = 2688 mm², y₂ = 16 + 84/2 = 58 mm

Центр ваги

ȳ = (2240·8 + 2688·58)/4928 = 35,27 mm

Відповідь

ȳ = 35,27 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 447,7 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (60000·150 − 2000·120)/(60000 − 2000) = 151 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·300³/12 + 60000·−1,034² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·50³/12 + 2000·−31,03² = 2,343 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 447,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 447,7 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 90,26 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·3 + 20·4 = 129,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 129,5 − 39,24 = 90,26 kPa

Відповідь

σ′ = 90,26 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 68,67 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Відповідь

u = 68,67 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 172,2 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·105 = 210 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 105 + 140 = 245 kPa > 210 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,04·7/(1 + 0,85)·log₁₀(210/105) + 0,5·7/(1 + 0,85)·log₁₀(245/210)

S = 45,56 + 126,7 = 172,2 mm

Відповідь

S = 172,2 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 6,888 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 6 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·6²/1,5 = 6,888 роки

Відповідь

t = 6,888 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 88,29 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Відповідь

F = 88,29 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 48,56 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,25·4,5 = 48,56 kN

Відповідь

F = 48,56 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 8,155 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(400/0,3)·2²/(2·9,81) = 8,155 m

Відповідь

h_f = 8,155 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 285,3 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

23 = (20 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·23/27,7) = 4,036 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,036·0,07069 = 0,2853 m³/s = 285,3 L/s

Відповідь

Q = 285,3 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 5,141 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1·0,8)·0,8 = 3,44 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,8·√(1 + 1²) = 5,763 m

R = A/P = 0,5969 m

Швидкість

V = (1/0,015)·0,5969^2/3·0,001^1/2 = 1,495 m/s

Витрата

Q = A·V = 3,44·1,495 = 5,141 m³/s

Відповідь

Q = 5,141 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0007736 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1·1,6)·1,6 = 9,76 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,6·√(1 + 1²) = 9,025 m

R = A/P = 1,081 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·13/(9,76·1,054) = 0,02781

S = 0,02781² = 0,0007736

Відповідь

S = 0,0007736

Це зниження на 0,7736 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 186,4 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·76 = 111,8 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 111,8/0,6 = 186,4 kW

Відповідь

P_shaft = 186,4 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 21,65 m

Швидкість

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 6)·0,2115 = 4,654 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 17 + 4,654 = 21,65 m

Відповідь

H = 21,65 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 29092 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·8 = 32

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,375 = €29 092,16

Відповідь

PV = €29 092,16

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 35982 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·5 = 60

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,432 − 1)/0,006 = €35 982,37

Відповідь

FV = €35 982,37

Самі ви внесли €30 000; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 5564 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 9 000/1,09 = 8 256,88

CF₂/(1 + 0,09)² = 16 000/1,188 = 13 466,88

CF₃/(1 + 0,09)³ = 19 000/1,295 = 14 671,49

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 20 000/1,412 = 14 168,50

Додайте

NPV = €5 563,75

Відповідь

NPV = €5 563,75

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 16,84 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

21 000·1,06² = 23 595,60

20 000·1,06¹ = 21 200,00

19 000·1,06⁰ = 19 000,00

TV = 63 795,60

MIRR

MIRR = (63 795,60/40 000)^1/3 − 1 = 16,84%

Відповідь

MIRR = 16,84%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6554

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 134,9 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Назад до x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 балів

Відповідь

x = 134,89 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil