Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4,5 m від A і зосередженим моментом M, що діє проти годинникової стрілки, на відстані 2,5 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 5 mP = 55 kN у 4,5 mM = 30 kN·m (проти годинникової стрілки) у 2,5 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 10 mP = 10 kN у 4 mw = 8 kN/m від 5 до 10 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN

F_AC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←

F_AB = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP₁ = 60 kN у 1,5 mP₂ = 25 kN у 2 m

M_max = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP = 60 kN у 3,5 mw = 3 kN/m від 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 13 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 2 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δ_max балки.

P = 23 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 145 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 145 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 3 m має C_c = 0,2, C_r = 0,06 і e₀ = 1,05. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 50 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 2,5. Нова будівля додає 90 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 3 mC_c = 0,2C_r = 0,06e₀ = 1,05σ′₀ = 50 kPaOCR = 2,5Δσ = 90 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 8 m має коефіцієнт консолідації c_v = 0,8 m²/year. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. Для 50% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,197. За скільки років t шар досягне 50% консолідації?

H = 8 mc_v = 0,8 m²/рікU = 50%T_v = 0,197двобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 0,9 m/s трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 0,9 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (гравій) має ширину по дну 3,5 m і закладання укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 2 m. n Маннінга = 0,025, ухил дна S = 0,0015. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3,5 my = 2 mz = 2n = 0,025S = 0,0015

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (необроблений бетон) з шириною по дну 5 m і закладанням укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 9 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,7 m. n Маннінга = 0,014. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 9 m³/sb = 5 my = 0,7 mz = 3n = 0,014

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 38 m. ККД насоса 60%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 94%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 20 L/sH = 38 mη_pump = 60%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 120 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 10 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 70%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 120 L/sΔz = 10 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €2 000 під 7 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 2 років.

PV = €2 000r = 7%t = 2

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 23 років. Рахунок дає 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €507,2% / 12N = 276

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €23 000, €23 000, €34 000, €19 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 23 000CF₂ = 23 000CF₃ = 34 000CF₄ = 19 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €150 000. Його грошовий потік становить €15 000 наприкінці року 1 і зростає на 2 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 9. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €15 000g = 2%n = 9r = 12%

NPV = €

29.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 85 і 112,75 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 85x₂ = 112,75

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 43,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 55·4,5 + 30 = 0

R_B = 217,5/5 = 43,5 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 55 − 43,5 = 11,5 kN

Відповідь

R_B = 43,5 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 34 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, прикладена в x̄ = 7,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·4 + 8·5·7,5

R_B = 340/10 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 34 = 16 kN

Відповідь

R_B = 34 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 7,5 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 10 = 15 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,8 = −12,5 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−12,5)·0,6 = 7,5 kN

Відповідь

F_AC = 7,5 kN (розтяг)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −37,25 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·5 − 30·3 → C_y = 5,833 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 5,833 = 19,17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/5,831 = 0,5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −19,17/0,5145 = −37,25 kN

Відповідь

F_AB = −37,25 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 93,33 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1,5 + 25·2

R_B = 140/6 = 23,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 23,33 = 61,67 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·1,5 = 61,67·1,5 = 92,5 kN·m

під P₂: M = R_B·4 = 23,33·4 = 93,33 kN·m

Найбільше значення

M_max = 93,33 kN·m (під P₂)

Відповідь

M_max = 93,33 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 100,6 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·3,5 + 3·6·3

R_B = 264/6 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 44 = 34 kN

Де V = 0?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 23,5 kN

V(3,5⁺) = 23,5 − 60 = −36,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 34·3,5 − 3·3,5²/2 = 100,6 kN·m

Відповідь

M_max = 100,6 kN·m

Це в точці x = 3,5 m від A.

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 14,91 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 13000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(3EI) = 13000·1500³/(3·1,32 × 10¹²) = 11,08 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 3,835 mm

Додайте

δ = 11,08 + 3,835 = 14,91 mm

Відповідь

δ = 14,91 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 67,61 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

Максимальний прогин

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 67,61 mm

Відповідь

δ_max = 67,61 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 31,09 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2000² = 31089 N = 31,09 kN

Відповідь

P_cr = 31,09 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 85,5 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 85,5 mm

Відповідь

d = 85,5 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 117, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 13,93 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

стінка: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·190 + 1440·90)/4640 = 159 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·20³/12 + 3200·(190 − 159)² = 3,189 × 10⁶ mm⁴

стінка: 8·180³/12 + 1440·(90 − 159)² = 1,074 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,189 × 10⁶ + 1,074 × 10⁷ = 1,393 × 10⁷ mm⁴ = 13,93 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 13,93 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 50,93 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

стінка: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·215 + 2800·100)/8800 = 178,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·30³/12 + 6000·(215 − 178,4)² = 8,483 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·200³/12 + 2800·(100 − 178,4)² = 2,655 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,483 × 10⁶ + 2,655 × 10⁷ = 3,503 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 178,4 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·178,4/3,503 × 10⁷ = 50,93 MPa

Відповідь

σ_низ = 50,93 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 128 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·4 + 20·3 = 128 kPa

Відповідь

σ = 128 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 58,45 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 17·1 + 19·2 + 17,5·3 = 107,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 107,5 − 49,05 = 58,45 kPa

Відповідь

σ′ = 58,45 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 49,35 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·50 = 125 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 50 + 90 = 140 kPa > 125 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,06·3/(1 + 1,05)·log₁₀(125/50) + 0,2·3/(1 + 1,05)·log₁₀(140/125)

S = 34,94 + 14,41 = 49,35 mm

Відповідь

S = 49,35 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 3,94 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H/2 = 8/2 = 4 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·4²/0,8 = 3,94 роки

Відповідь

t = 3,94 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 198,7 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·4,5 = 198,7 kN

Відповідь

F = 198,7 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 64,89 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,75·3 = 64,89 kN

Відповідь

F = 64,89 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 4,128 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,1)·0,9²/(2·9,81) = 4,128 m

Відповідь

h_f = 4,128 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 20,18 m

Швидкість

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·500/0,25 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Сумарні втрати напору

h_f = 30·0,4759 = 14,28 m

h_m = 12,4·0,4759 = 5,902 m

Δz = h_f + h_m = 20,18 m

Відповідь

Δz = 20,18 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 26,32 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 2·2)·2 = 15 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·2·√(1 + 2²) = 12,44 m

R = A/P = 1,205 m

Швидкість

V = (1/0,025)·1,205^2/3·0,0015^1/2 = 1,755 m/s

Витрата

Q = A·V = 15·1,755 = 26,32 m³/s

Відповідь

Q = 26,32 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001509 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·0,7)·0,7 = 4,97 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0,7·√(1 + 3²) = 9,427 m

R = A/P = 0,5272 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·9/(4,97·0,6526) = 0,03885

S = 0,03885² = 0,001509

Відповідь

S = 0,001509

Це зниження на 1,509 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 13,22 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·38 = 7,456 kW

Потужність на валу

P_shaft = 7,456/0,6 = 12,43 kW

Електрична потужність

P_el = 12,43/0,94 = 13,22 kW

Відповідь

P_el = 13,22 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 31,98 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (21,6 + 8)·0,3046 = 9,016 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 10 + 9,016 = 19,02 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·19,02/0,7 = 31,98 kW

Відповідь

P_shaft = 31,98 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 2301 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,07·2 = 0,14

e^0,14 = 1,15

Майбутня вартість

FV = 2 000·1,15 = €2 300,55

Відповідь

FV = €2 300,55

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 35104 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·23 = 276

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(5,212 − 1)/0,006 = €35 103,83

Відповідь

FV = €35 103,83

Самі ви внесли €13 800; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 10765 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 23 000/1,06 = 21 698,11

CF₂/(1 + 0,06)² = 23 000/1,124 = 20 469,92

CF₃/(1 + 0,06)³ = 34 000/1,191 = 28 547,06

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 19 000/1,262 = 15 049,78

Додайте

NPV = €10 764,87

Відповідь

NPV = €10 764,87

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −64644 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,02)/(1,12))⁹ = 0,431

PV = 15 000/(0,12 − 0,02)·(1 − 0,431) = 85 355,65

NPV

NPV = 85 355,65 − 150 000 = −€64 644,35

Відповідь

NPV = −€64 644,35

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6437

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (85 − 100)/15 = −1

z₂ = (112,75 − 100)/15 = 0,85

Площа між

P = Φ(0,85) − Φ(−1) = 0,8023 − 0,1587 = 0,6437

Відповідь

P = 0,6437

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9099

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Відповідь

P = 0,9099

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil